Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zzngim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zzngim 20123
 Description: The ℤ ring homomorphism is an isomorphism for 𝑁 = 0. (We only show group isomorphism here, but ring isomorphism follows, since it is a bijective ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zzngim.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘0)
zzngim.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
zzngim 𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌)

Proof of Theorem zzngim
StepHypRef Expression
1 0nn0 11519 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2 zzngim.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘0)
32zncrng 20115 . . . 4 (0 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
4 crngring 18778 . . . 4 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
51, 3, 4mp2b 10 . . 3 𝑌 ∈ Ring
6 zzngim.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
76zrhrhm 20082 . . 3 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
8 rhmghm 18947 . . 3 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌))
95, 7, 8mp2b 10 . 2 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌)
10 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
112, 10, 6znzrhfo 20118 . . . . . . 7 (0 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
121, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌)
13 fofn 6279 . . . . . 6 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
14 fnresdm 6161 . . . . . 6 (𝐿 Fn ℤ → (𝐿 ↾ ℤ) = 𝐿)
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . 5 (𝐿 ↾ ℤ) = 𝐿
166reseq1i 5547 . . . . 5 (𝐿 ↾ ℤ) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ ℤ)
1715, 16eqtr3i 2784 . . . 4 𝐿 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ ℤ)
18 eqid 2760 . . . . . 6 0 = 0
1918iftruei 4237 . . . . 5 if(0 = 0, ℤ, (0..^0)) = ℤ
2019eqcomi 2769 . . . 4 ℤ = if(0 = 0, ℤ, (0..^0))
212, 10, 17, 20znf1o 20122 . . 3 (0 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌))
221, 21ax-mp 5 . 2 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌)
23 zringbas 20046 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
2423, 10isgim 17925 . 2 (𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌) ↔ (𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌) ∧ 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
259, 22, 24mpbir2an 993 1 𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ifcif 4230   ↾ cres 5268   Fn wfn 6044  –onto→wfo 6047  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  ℕ0cn0 11504  ℤcz 11589  ..^cfzo 12679  Basecbs 16079   GrpHom cghm 17878   GrpIso cgim 17920  Ringcrg 18767  CRingccrg 18768   RingHom crh 18934  ℤringzring 20040  ℤRHomczrh 20070  ℤ/nℤczn 20073 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-ec 7915  df-qs 7919  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-dvds 15203  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-0g 16324  df-imas 16390  df-qus 16391  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-nsg 17813  df-eqg 17814  df-ghm 17879  df-gim 17922  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-rnghom 18937  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-lidl 19396  df-rsp 19397  df-2idl 19454  df-cnfld 19969  df-zring 20041  df-zrh 20074  df-zn 20077 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator