Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ztprmneprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ztprmneprm 42653
Description: A prime is not an integer multiple of another prime. (Contributed by AV, 23-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
ztprmneprm ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem ztprmneprm
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 11593 . . 3 (𝑍 ∈ ℤ ↔ (𝑍 ∈ ℕ0 ∨ (𝑍 ∈ ℝ ∧ -𝑍 ∈ ℕ)))
2 elnn0 11496 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℕ0 ↔ (𝑍 ∈ ℕ ∨ 𝑍 = 0))
3 elnn1uz2 11968 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ ℕ ↔ (𝑍 = 1 ∨ 𝑍 ∈ (ℤ‘2)))
4 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 = 1 → (𝑍 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
54adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → (𝑍 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
65eqeq1d 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐵))
7 prmz 15596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℤ)
87zcnd 11685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℂ)
98mulid2d 10260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℙ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
109adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1110eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((1 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
1211biimpd 219 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((1 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
1312adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ((1 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
146, 13sylbid 230 . . . . . . . . 9 ((𝑍 = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
1514ex 397 . . . . . . . 8 (𝑍 = 1 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
16 prmuz2 15615 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
1716adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
18 nprm 15608 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ)
1917, 18sylan2 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ¬ (𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ)
20 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝐵 ∈ ℙ))
2120notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → (¬ (𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℙ))
22 pm2.24 122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℙ → (¬ 𝐵 ∈ ℙ → 𝐴 = 𝐵))
2322adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → (¬ 𝐵 ∈ ℙ → 𝐴 = 𝐵))
2423adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → (¬ 𝐵 ∈ ℙ → 𝐴 = 𝐵))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ ℙ → ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → 𝐴 = 𝐵))
2621, 25syl6bi 243 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → (¬ (𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ → ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → 𝐴 = 𝐵)))
2726com3l 89 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ → ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
2819, 27mpcom 38 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
2928ex 397 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
3015, 29jaoi 844 . . . . . . 7 ((𝑍 = 1 ∨ 𝑍 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
313, 30sylbi 207 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
32 oveq1 6800 . . . . . . . . 9 (𝑍 = 0 → (𝑍 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
3332eqeq1d 2773 . . . . . . . 8 (𝑍 = 0 → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 ↔ (0 · 𝐴) = 𝐵))
34 prmnn 15595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ)
3534nnred 11237 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℝ)
36 mul02lem2 10415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℙ → (0 · 𝐴) = 0)
3837adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → (0 · 𝐴) = 0)
3938eqeq1d 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((0 · 𝐴) = 𝐵 ↔ 0 = 𝐵))
40 prmnn 15595 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℙ → 𝐵 ∈ ℕ)
41 elnnne0 11508 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ≠ 0))
42 eqneqall 2954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = 0 → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 = 𝐵))
4342eqcoms 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = 𝐵 → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 = 𝐵))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ≠ 0 → (0 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
4544adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ≠ 0) → (0 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
4641, 45sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ → (0 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
4740, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℙ → (0 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
4847adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → (0 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
4939, 48sylbid 230 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((0 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
5049com12 32 . . . . . . . 8 ((0 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → 𝐴 = 𝐵))
5133, 50syl6bi 243 . . . . . . 7 (𝑍 = 0 → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → 𝐴 = 𝐵)))
5251com23 86 . . . . . 6 (𝑍 = 0 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
5331, 52jaoi 844 . . . . 5 ((𝑍 ∈ ℕ ∨ 𝑍 = 0) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
542, 53sylbi 207 . . . 4 (𝑍 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
55 elnnz 11589 . . . . . 6 (-𝑍 ∈ ℕ ↔ (-𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑍))
56 lt0neg1 10736 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 < 0 ↔ 0 < -𝑍))
5734nngt0d 11266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℙ → 0 < 𝐴)
5857adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → 0 < 𝐴)
59 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0) → 𝑍 < 0)
6058, 59anim12ci 601 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → (𝑍 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
6160orcd 860 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → ((𝑍 < 0 ∧ 0 < 𝐴) ∨ (0 < 𝑍𝐴 < 0)))
62 simprl 754 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → 𝑍 ∈ ℝ)
6335adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6463adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6562, 64mul2lt0bi 12139 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → ((𝑍 · 𝐴) < 0 ↔ ((𝑍 < 0 ∧ 0 < 𝐴) ∨ (0 < 𝑍𝐴 < 0))))
6661, 65mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → (𝑍 · 𝐴) < 0)
6766ex 397 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0) → (𝑍 · 𝐴) < 0))
68 breq1 4789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝑍 · 𝐴) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
6968adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 · 𝐴) = 𝐵) → ((𝑍 · 𝐴) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
70 nnnn0 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
71 nn0nlt0 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐵 < 0)
7271pm2.21d 119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7440, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℙ → (𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7574adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → (𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7675adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 · 𝐴) = 𝐵) → (𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7769, 76sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 · 𝐴) = 𝐵) → ((𝑍 · 𝐴) < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7877ex 397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝑍 · 𝐴) < 0 → 𝐴 = 𝐵)))
7978com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) < 0 → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
8067, 79syldc 48 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
8180ex 397 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 < 0 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))))
8256, 81sylbird 250 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ ℝ → (0 < -𝑍 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))))
8382adantld 478 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ℝ → ((-𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑍) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))))
8455, 83syl5bi 232 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℝ → (-𝑍 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))))
8584imp 393 . . . 4 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ -𝑍 ∈ ℕ) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
8654, 85jaoi 844 . . 3 ((𝑍 ∈ ℕ0 ∨ (𝑍 ∈ ℝ ∧ -𝑍 ∈ ℕ)) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
871, 86sylbi 207 . 2 (𝑍 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
88873impib 1108 1 ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 834  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143   < clt 10276  -cneg 10469  cn 11222  2c2 11272  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593
This theorem is referenced by:  zlmodzxznm  42814
  Copyright terms: Public domain W3C validator