MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zsubcld 11671
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zsubcld (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 zaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3 zsubcl 11603 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2131  (class class class)co 6805  cmin 10450  cz 11561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562
This theorem is referenced by:  eluzmn  11878  uzsubsubfz  12548  fzm1  12605  eluzgtdifelfzo  12716  ubmelm1fzo  12750  elfznelfzo  12759  intfracq  12844  modsubdir  12925  modsumfzodifsn  12929  zesq  13173  bcval5  13291  swrdfv2  13638  ccatswrd  13648  swrdccatin12lem2b  13678  cshwidxmod  13741  2cshwcshw  13763  cshwcsh2id  13766  fzomaxdiflem  14273  iseralt  14606  fsum0diaglem  14699  mptfzshft  14701  mertenslem1  14807  eirrlem  15123  fzocongeq  15240  3dvds  15246  3dvdsOLD  15247  modremain  15326  bitsfzolem  15350  bitsmod  15352  bitscmp  15354  bitsinv1lem  15357  sadaddlem  15382  bezoutlem3  15452  cncongr1  15575  hashdvds  15674  crth  15677  eulerthlem2  15681  prmdiveq  15685  modprm0  15704  pythagtriplem4  15718  pythagtriplem6  15720  pythagtriplem7  15721  pythagtriplem11  15724  pythagtriplem13  15726  pythagtriplem15  15728  pcqcl  15755  pcaddlem  15786  pcbc  15798  gzmulcl  15836  4sqlem5  15840  4sqlem8  15843  4sqlem11  15853  4sqlem12  15854  4sqlem14  15856  4sqlem16  15858  mndodconglem  18152  sylow1lem1  18205  sylow1lem3  18207  gsummptshft  18528  znf1o  20094  zdis  22812  plydivex  24243  aaliou3lem8  24291  basellem3  25000  bcmono  25193  bcmax  25194  bposlem1  25200  lgsmod  25239  lgsdirprm  25247  lgsqrlem2  25263  gausslemma2dlem0h  25279  gausslemma2dlem1a  25281  gausslemma2dlem5a  25286  lgseisenlem1  25291  lgseisenlem2  25292  lgsquadlem1  25296  2lgslem2  25311  2sqlem4  25337  2sqlem8  25342  pntrlog2bndlem1  25457  crctcshwlkn0lem3  26907  crctcshwlkn0lem4  26908  crctcshwlkn0lem6  26910  crctcshwlkn0  26916  clwlkclwwlklem2a1  27107  clwlkclwwlklem2fv1  27110  clwlkclwwlklem2a4  27112  clwlkclwwlklem2a  27113  fzspl  29851  fzsplit3  29854  ltesubnnd  29869  2sqmod  29949  archirngz  30044  smatrcl  30163  ballotlemfp1  30854  ballotlemimin  30868  ballotlemic  30869  ballotlem1c  30870  ballotlemfrceq  30891  ballotlemfrcn0  30892  signsplypnf  30928  signslema  30940  reprsuc  30994  breprexplema  31009  breprexplemc  31011  circlemeth  31019  bcprod  31923  fwddifnp1  32570  lzenom  37827  irrapxlem3  37882  pellexlem5  37891  rmspecnonsq  37966  congtr  38026  congmul  38028  congsym  38029  congrep  38034  acongrep  38041  acongeq  38044  dvdsacongtr  38045  jm2.18  38049  jm2.23  38057  jm2.20nn  38058  jm2.25  38060  jm2.26a  38061  jm2.26lem3  38062  jm2.27a  38066  jm2.27c  38068  jm3.1lem3  38080  jm3.1  38081  expdiophlem1  38082  hashnzfzclim  39015  binomcxplemnn0  39042  oddfl  39980  fmul01lt1lem2  40312  sumnnodd  40357  dvnmul  40653  dvnprodlem1  40656  dvnprodlem2  40657  stoweidlem26  40738  wallispilem4  40780  fourierdlem26  40845  fourierdlem41  40860  fourierdlem42  40861  fourierdlem48  40866  fouriersw  40943  elaa2lem  40945  etransclem3  40949  etransclem7  40953  etransclem10  40956  etransclem15  40961  etransclem20  40966  etransclem21  40967  etransclem22  40968  etransclem24  40970  etransclem25  40971  etransclem27  40973  etransclem35  40981  etransclem48  40994  2elfz2melfz  41830  goldbachthlem2  41960  pwm1geoserALT  42004  2pwp1prm  42005  altgsumbcALT  42633  digexp  42903  dignn0flhalflem1  42911
  Copyright terms: Public domain W3C validator