MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zsubcl 11457
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zsubcl ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl
StepHypRef Expression
1 zcn 11420 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2 zcn 11420 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3 negsub 10367 . . 3 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
41, 2, 3syl2an 493 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
5 znegcl 11450 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6 zaddcl 11455 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
75, 6sylan2 490 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
84, 7eqeltrrd 2731 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972   + caddc 9977  cmin 10304  -cneg 10305  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  peano2zm  11458  zrevaddcl  11460  znnsub  11461  znn0sub  11462  nzadd  11463  zneo  11498  zsubcld  11525  eluzsubi  11753  fzen  12396  uzsubsubfz  12401  fzrev  12441  fzrev2  12442  fzrevral2  12464  fzshftral  12466  fz0fzdiffz0  12487  difelfzle  12491  difelfznle  12492  fzo0n  12529  fzonfzoufzol  12611  elfzomelpfzo  12612  zmodcl  12730  addmodlteq  12785  fzen2  12808  facndiv  13115  bccmpl  13136  bcval5  13145  bcpasc  13148  hashfz  13252  ccatsymb  13400  swrdspsleq  13495  swrdccatin12lem1  13530  swrdccatin12lem2a  13531  swrdccatin12lem2b  13532  swrdccatin12lem2  13535  swrdccat  13539  repswswrd  13577  cshwsublen  13588  cshwidxmodr  13596  2cshwid  13606  3cshw  13610  cshweqdif2  13611  2cshwcshw  13617  cshwcshid  13619  seqshft  13869  isercoll2  14443  zfallfaccl  14796  binomrisefac  14817  bpolydiflem  14829  moddvds  15038  modmulconst  15060  dvds2sub  15063  dvdssub2  15070  dvdssubr  15074  fzocongeq  15093  3dvds  15099  3dvdsOLD  15100  odd2np1  15112  omoe  15135  omeo  15137  divalglem0  15163  divalglem4  15166  divalglem9  15171  divalgb  15174  divalgmod  15176  divalgmodOLD  15177  ndvdsadd  15181  nn0seqcvgd  15330  congr  15425  cncongr1  15428  cncongr2  15429  eulerthlem2  15534  prmdiv  15537  prmdiveq  15538  pythagtriplem4  15571  pythagtriplem8  15575  difsqpwdvds  15638  prmgaplem7  15808  mod2xnegi  15822  cshwshashlem2  15850  mndodcongi  18008  odcong  18014  odf1  18025  odf1o1  18033  efgredleme  18202  srgbinomlem4  18589  plyeq0lem  24011  aaliou3lem1  24142  aaliou3lem2  24143  efif1olem2  24334  wilthlem2  24840  basellem2  24853  dchrptlem1  25034  bposlem6  25059  gausslemma2dlem6  25142  lgsquadlem1  25150  crctcshwlkn0lem7  26764  crctcshwlkn0  26769  clwlkclwwlklem2fv2  26962  ballotlemfelz  30680  fwddifnp1  32397  knoppndvlem2  32629  poimirlem28  33567  irrapxlem1  37703  jm2.24nn  37843  congtr  37849  congadd  37850  congmul  37851  congabseq  37858  acongeq  37867  jm2.26a  37884  jm2.15nn0  37887  jm2.27c  37891  jm3.1  37904  2elfz2melfz  41653  elfzlble  41655  elfzelfzlble  41656  subsubelfzo0  41661  pfxccatin12lem1  41748  pfxccatin12lem2  41749  altgsumbc  42455  altgsumbcALT  42456  zlmodzxzsub  42463
  Copyright terms: Public domain W3C validator