Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringunit 19884
 Description: The units of ℤ are the integers with norm 1, i.e. 1 and -1. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringunit (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))

Proof of Theorem zringunit
StepHypRef Expression
1 zringbas 19872 . . . 4 ℤ = (Base‘ℤring)
2 eqid 2651 . . . 4 (Unit‘ℤring) = (Unit‘ℤring)
31, 2unitcl 18705 . . 3 (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → 𝐴 ∈ ℤ)
4 zsubrg 19847 . . . . . . 7 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5 zgz 15684 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ[i])
65ssriv 3640 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℤ[i]
7 gzsubrg 19848 . . . . . . . 8 ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld)
8 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (ℂflds ℤ[i]) = (ℂflds ℤ[i])
98subsubrg 18854 . . . . . . . 8 (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂflds ℤ[i])) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i])))
107, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂflds ℤ[i])) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i]))
114, 6, 10mpbir2an 975 . . . . . 6 ℤ ∈ (SubRing‘(ℂflds ℤ[i]))
12 df-zring 19867 . . . . . . . 8 ring = (ℂflds ℤ)
13 ressabs 15986 . . . . . . . . 9 ((ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i]) → ((ℂflds ℤ[i]) ↾s ℤ) = (ℂflds ℤ))
147, 6, 13mp2an 708 . . . . . . . 8 ((ℂflds ℤ[i]) ↾s ℤ) = (ℂflds ℤ)
1512, 14eqtr4i 2676 . . . . . . 7 ring = ((ℂflds ℤ[i]) ↾s ℤ)
16 eqid 2651 . . . . . . 7 (Unit‘(ℂflds ℤ[i])) = (Unit‘(ℂflds ℤ[i]))
1715, 16, 2subrguss 18843 . . . . . 6 (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂflds ℤ[i])) → (Unit‘ℤring) ⊆ (Unit‘(ℂflds ℤ[i])))
1811, 17ax-mp 5 . . . . 5 (Unit‘ℤring) ⊆ (Unit‘(ℂflds ℤ[i]))
1918sseli 3632 . . . 4 (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → 𝐴 ∈ (Unit‘(ℂflds ℤ[i])))
208gzrngunit 19860 . . . . 5 (𝐴 ∈ (Unit‘(ℂflds ℤ[i])) ↔ (𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ (abs‘𝐴) = 1))
2120simprbi 479 . . . 4 (𝐴 ∈ (Unit‘(ℂflds ℤ[i])) → (abs‘𝐴) = 1)
2219, 21syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → (abs‘𝐴) = 1)
233, 22jca 553 . 2 (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))
24 zcn 11420 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2524adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
26 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (abs‘𝐴) = 1)
27 ax-1ne0 10043 . . . . . . 7 1 ≠ 0
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 1 ≠ 0)
2926, 28eqnetrd 2890 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
30 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
31 abs0 14069 . . . . . . 7 (abs‘0) = 0
3230, 31syl6eq 2701 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
3332necon3i 2855 . . . . 5 ((abs‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
3429, 33syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ≠ 0)
35 eldifsn 4350 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
3625, 34, 35sylanbrc 699 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
37 simpl 472 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
38 cnfldinv 19825 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = (1 / 𝐴))
3925, 34, 38syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = (1 / 𝐴))
40 zre 11419 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
42 absresq 14086 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
4426oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = (1↑2))
45 sq1 12998 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
4644, 45syl6eq 2701 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = 1)
4725sqvald 13045 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
4843, 46, 473eqtr3rd 2694 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (𝐴 · 𝐴) = 1)
49 1cnd 10094 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 1 ∈ ℂ)
5049, 25, 25, 34divmuld 10861 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = 1))
5148, 50mpbird 247 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (1 / 𝐴) = 𝐴)
5239, 51eqtrd 2685 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = 𝐴)
5352, 37eqeltrd 2730 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ)
54 cnfldbas 19798 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
55 cnfld0 19818 . . . . . 6 0 = (0g‘ℂfld)
56 cndrng 19823 . . . . . 6 fld ∈ DivRing
5754, 55, 56drngui 18801 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
58 eqid 2651 . . . . 5 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
5912, 57, 2, 58subrgunit 18846 . . . 4 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ)))
604, 59ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ))
6136, 37, 53, 60syl3anbrc 1265 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ (Unit‘ℤring))
6223, 61impbii 199 1 (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   / cdiv 10722  2c2 11108  ℤcz 11415  ↑cexp 12900  abscabs 14018  ℤ[i]cgz 15680   ↾s cress 15905  Unitcui 18685  invrcinvr 18717  SubRingcsubrg 18824  ℂfldccnfld 19794  ℤringzring 19866 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-gz 15681  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-cnfld 19795  df-zring 19867 This theorem is referenced by:  zringndrg  19886  prmirredlem  19889  qqhval2lem  30153
 Copyright terms: Public domain W3C validator