MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringndrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringndrg 19886
Description: The integers are not a division ring, and therefore not a field. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
zringndrg ring ∉ DivRing

Proof of Theorem zringndrg
StepHypRef Expression
1 1ne2 11278 . . . . . . 7 1 ≠ 2
21nesymi 2880 . . . . . 6 ¬ 2 = 1
3 2re 11128 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
4 0le2 11149 . . . . . . . 8 0 ≤ 2
5 absid 14080 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
63, 4, 5mp2an 708 . . . . . . 7 (abs‘2) = 2
76eqeq1i 2656 . . . . . 6 ((abs‘2) = 1 ↔ 2 = 1)
82, 7mtbir 312 . . . . 5 ¬ (abs‘2) = 1
98intnan 980 . . . 4 ¬ (2 ∈ ℤ ∧ (abs‘2) = 1)
10 zringunit 19884 . . . 4 (2 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (abs‘2) = 1))
119, 10mtbir 312 . . 3 ¬ 2 ∈ (Unit‘ℤring)
12 zringbas 19872 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
13 eqid 2651 . . . . 5 (Unit‘ℤring) = (Unit‘ℤring)
14 zring0 19876 . . . . 5 0 = (0g‘ℤring)
1512, 13, 14isdrng 18799 . . . 4 (ℤring ∈ DivRing ↔ (ℤring ∈ Ring ∧ (Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0})))
16 2z 11447 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
17 2ne0 11151 . . . . . 6 2 ≠ 0
18 eldifsn 4350 . . . . . 6 (2 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0))
1916, 17, 18mpbir2an 975 . . . . 5 2 ∈ (ℤ ∖ {0})
20 id 22 . . . . 5 ((Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}) → (Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}))
2119, 20syl5eleqr 2737 . . . 4 ((Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}) → 2 ∈ (Unit‘ℤring))
2215, 21simplbiim 659 . . 3 (ℤring ∈ DivRing → 2 ∈ (Unit‘ℤring))
2311, 22mto 188 . 2 ¬ ℤring ∈ DivRing
2423nelir 2929 1 ring ∉ DivRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wnel 2926  cdif 3604  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  cle 10113  2c2 11108  cz 11415  abscabs 14018  Ringcrg 18593  Unitcui 18685  DivRingcdr 18795  ringzring 19866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-gz 15681  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-cnfld 19795  df-zring 19867
This theorem is referenced by:  zclmncvs  22994
  Copyright terms: Public domain W3C validator