Theorem zrhcofipsgn 20162

Description: Composition of a ℤRHom homomorphism and the sign function for a finite permutation. (Contributed by AV, 27-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhcofipsgn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhcofipsgn.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhcofipsgn.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
zrhcofipsgn	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))

Proof of Theorem zrhcofipsgn

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		zrhcofipsgn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
4		zrhcofipsgn.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
5	1, 2, 3, 4	psgnfn 18142	. 2 ⊢ 𝑆 Fn {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
6		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → 𝑄 ∈ 𝑃)
7	1, 2	sygbasnfpfi 18153	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
8		difeq1 3865	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (𝑝 ∖ I ) = (𝑄 ∖ I ))
9	8	dmeqd 5482	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → dom (𝑝 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
10	9	eleq1d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
11	10	elrab 3505	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
12	6, 7, 11	sylanbrc 701	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → 𝑄 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
13		fvco2 6437	. 2 ⊢ ((𝑆 Fn {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ 𝑄 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
14	5, 12, 13	sylancr 698	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  {crab 3055   ∖ cdif 3713   I cid 5174  dom cdm 5267   ∘ ccom 5271   Fn wfn 6045  ‘cfv 6050  Fincfn 8124  Basecbs 16080  SymGrpcsymg 18018  pmSgncpsgn 18130  ℤRHomczrh 20071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-hash 13333  df-word 13506  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-plusg 16177  df-tset 16183  df-symg 18019  df-psgn 18132

This theorem is referenced by:  zrhcopsgnelbas  20164  zrhcopsgndif  20172  mdetfval1  20619  mdetpmtr1  30220  mdetpmtr12  30222