MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem6 9361
Description: Lemma for zorn2 9366. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem6 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Or (𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem6
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poss 5066 . . . 4 ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → (𝑅 Po 𝐴𝑅 Po (𝐹𝑥)))
2 zorn2lem.3 . . . . 5 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
3 zorn2lem.4 . . . . 5 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
4 zorn2lem.5 . . . . 5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
5 zorn2lem.7 . . . . 5 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
62, 3, 4, 5zorn2lem5 9360 . . . 4 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
71, 6syl11 33 . . 3 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Po (𝐹𝑥)))
82tfr1 7538 . . . . . . . 8 𝐹 Fn On
9 fnfun 6026 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
10 fvelima 6287 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹𝑠 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑏𝑥 (𝐹𝑏) = 𝑠)
11 df-rex 2947 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑏𝑥 (𝐹𝑏) = 𝑠 ↔ ∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠))
1210, 11sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑠 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠))
1312ex 449 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → (𝑠 ∈ (𝐹𝑥) → ∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠)))
14 fvelima 6287 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑎𝑥 (𝐹𝑎) = 𝑟)
15 df-rex 2947 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑎𝑥 (𝐹𝑎) = 𝑟 ↔ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟))
1614, 15sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟))
1716ex 449 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
1813, 17anim12d 585 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟))))
198, 9, 18mp2b 10 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
20 an4 882 . . . . . . . . 9 (((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ ((𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ (𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
21202exbii 1815 . . . . . . . 8 (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ ∃𝑏𝑎((𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ (𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
22 eeanv 2218 . . . . . . . 8 (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ (𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
2321, 22bitri 264 . . . . . . 7 (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
2419, 23sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
255neeq1i 2887 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ≠ ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)
2625ralbii 3009 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)
27 imaeq2 5497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑏))
2827raleqdv 3174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧))
2928rabbidv 3220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑏 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧})
3029neeq1d 2882 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
3130rspccv 3337 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ → (𝑏𝑥 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
32 imaeq2 5497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑎 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑎))
3332raleqdv 3174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧))
3433rabbidv 3220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧})
3534neeq1d 2882 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
3635rspccv 3337 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ → (𝑎𝑥 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
3731, 36anim12d 585 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)))
3826, 37sylbi 207 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)))
39 onelon 5786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑏𝑥) → 𝑏 ∈ On)
40 onelon 5786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑎𝑥) → 𝑎 ∈ On)
4139, 40anim12dan 900 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑏𝑥𝑎𝑥)) → (𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On))
4241ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On)))
43 eloni 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ On → Ord 𝑏)
44 eloni 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ On → Ord 𝑎)
45 ordtri3or 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Ord 𝑏 ∧ Ord 𝑎) → (𝑏𝑎𝑏 = 𝑎𝑎𝑏))
4643, 44, 45syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (𝑏𝑎𝑏 = 𝑎𝑎𝑏))
47 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧}
482, 3, 47zorn2lem2 9357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑏𝑎 → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎)))
4948adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑏𝑎 → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎)))
50 breq12 4690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎) ↔ 𝑠𝑅𝑟))
5150biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑠𝑅𝑟))
5249, 51syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑏𝑎 → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑠𝑅𝑟)))
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑏𝑎𝑠𝑅𝑟)))
5453adantrrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑏𝑎𝑠𝑅𝑟)))
5554imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑏𝑎𝑠𝑅𝑟))
56 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑎 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎))
57 eqeq12 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) ↔ 𝑠 = 𝑟))
5856, 57syl5ib 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑏 = 𝑎𝑠 = 𝑟))
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑏 = 𝑎𝑠 = 𝑟))
60 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧}
612, 3, 60zorn2lem2 9357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏)))
6261adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏)))
63 breq12 4690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹𝑎) = 𝑟 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) → ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏) ↔ 𝑟𝑅𝑠))
6463ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏) ↔ 𝑟𝑅𝑠))
6564biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑟𝑅𝑠))
6662, 65syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑎𝑏 → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑟𝑅𝑠)))
6766com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑎𝑏𝑟𝑅𝑠)))
6867adantrrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑎𝑏𝑟𝑅𝑠)))
6968imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑎𝑏𝑟𝑅𝑠))
7055, 59, 693orim123d 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → ((𝑏𝑎𝑏 = 𝑎𝑎𝑏) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
7146, 70syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
7271exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7372com4r 94 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7442, 42, 73syl6c 70 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ((𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7574exp4a 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (𝑤 We 𝐴 → (({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))))))
7675com3r 87 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 We 𝐴 → (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))))))
7776imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7877a2d 29 . . . . . . . . 9 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7938, 78syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
8079imp4b 612 . . . . . . 7 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8180exlimdvv 1902 . . . . . 6 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8224, 81syl5 34 . . . . 5 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8382ralrimivv 2999 . . . 4 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))
8483a1i 11 . . 3 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
857, 84jcad 554 . 2 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑅 Po (𝐹𝑥) ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))))
86 df-so 5065 . 2 (𝑅 Or (𝐹𝑥) ↔ (𝑅 Po (𝐹𝑥) ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8785, 86syl6ibr 242 1 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Or (𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3o 1053   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cmpt 4762   Po wpo 5062   Or wor 5063   We wwe 5101  ran crn 5144  cima 5146  Ord word 5760  Oncon0 5761  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  cfv 5926  crio 6650  recscrecs 7512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-wrecs 7452  df-recs 7513
This theorem is referenced by:  zorn2lem7  9362
  Copyright terms: Public domain W3C validator