MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem5 9360
Description: Lemma for zorn2 9366. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem5 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem5
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zorn2lem.3 . . . . . 6 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
21tfr1 7538 . . . . 5 𝐹 Fn On
3 fnfun 6026 . . . . 5 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 Fun 𝐹
5 fvelima 6287 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑠 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑠)
64, 5mpan 706 . . 3 (𝑠 ∈ (𝐹𝑥) → ∃𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑠)
7 nfv 1883 . . . . 5 𝑦(𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On)
8 nfra1 2970 . . . . 5 𝑦𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅
97, 8nfan 1868 . . . 4 𝑦((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)
10 nfv 1883 . . . 4 𝑦 𝑠𝐴
11 df-ral 2946 . . . . . 6 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦𝑥𝐻 ≠ ∅))
12 onelon 5786 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ On)
13 zorn2lem.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
14 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ⊆ 𝐴
1513, 14eqsstri 3668 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐻𝐴
16 zorn2lem.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
171, 16, 13zorn2lem1 9356 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐻)
1815, 17sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐴)
19 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑦) = 𝑠 → ((𝐹𝑦) ∈ 𝐴𝑠𝐴))
2018, 19syl5ib 234 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) = 𝑠 → ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠𝐴))
2112, 20sylani 687 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑦) = 𝑠 → (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠𝐴))
2221com12 32 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴𝐻 ≠ ∅)) → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))
2322exp43 639 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ On → (𝑦𝑥 → (𝑤 We 𝐴 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴)))))
2423com3r 87 . . . . . . . . 9 (𝑤 We 𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑦𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴)))))
2524imp 444 . . . . . . . 8 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (𝑦𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))))
2625a2d 29 . . . . . . 7 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → ((𝑦𝑥𝐻 ≠ ∅) → (𝑦𝑥 → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))))
2726spsd 2095 . . . . . 6 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (∀𝑦(𝑦𝑥𝐻 ≠ ∅) → (𝑦𝑥 → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))))
2811, 27syl5bi 232 . . . . 5 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → (𝑦𝑥 → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))))
2928imp 444 . . . 4 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦𝑥 → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴)))
309, 10, 29rexlimd 3055 . . 3 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))
316, 30syl5 34 . 2 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑠 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑠𝐴))
3231ssrdv 3642 1 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  wal 1521   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cmpt 4762   We wwe 5101  ran crn 5144  cima 5146  Oncon0 5761  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  cfv 5926  crio 6650  recscrecs 7512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-wrecs 7452  df-recs 7513
This theorem is referenced by:  zorn2lem6  9361  zorn2lem7  9362
  Copyright terms: Public domain W3C validator