Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem3 9358
 Description: Lemma for zorn2 9366. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem3 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem3
StepHypRef Expression
1 zorn2lem.3 . . . 4 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2 zorn2lem.4 . . . 4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
3 zorn2lem.5 . . . 4 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
41, 2, 3zorn2lem2 9357 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
54adantl 481 . 2 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
6 ssrab2 3720 . . . . 5 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ⊆ 𝐴
73, 6eqsstri 3668 . . . 4 𝐷𝐴
81, 2, 3zorn2lem1 9356 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
97, 8sseldi 3634 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐴)
10 breq1 4688 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → ((𝐹𝑥)𝑅(𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
1110biimprcd 240 . . . . 5 ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → (𝐹𝑥)𝑅(𝐹𝑥)))
12 poirr 5075 . . . . 5 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹𝑥)𝑅(𝐹𝑥))
1311, 12nsyli 155 . . . 4 ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
1413com12 32 . . 3 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥) → ¬ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
159, 14sylan2 490 . 2 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅))) → ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥) → ¬ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
165, 15syld 47 1 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  ∅c0 3948   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   Po wpo 5062   We wwe 5101  ran crn 5144   “ cima 5146  Oncon0 5761  ‘cfv 5926  ℩crio 6650  recscrecs 7512 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-wrecs 7452  df-recs 7513 This theorem is referenced by:  zorn2lem4  9359
 Copyright terms: Public domain W3C validator