Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zofldiv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zofldiv2 42835
Description: The floor of an odd integer divided by 2 is equal to the integer first decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
zofldiv2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem zofldiv2
StepHypRef Expression
1 zcn 11574 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2 npcan1 10647 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
32eqcomd 2766 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
54oveq1d 6828 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) + 1) / 2))
6 peano2zm 11612 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
76zcnd 11675 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
8 1cnd 10248 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
9 2cnne0 11434 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
11 divdir 10902 . . . . . 6 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
127, 8, 10, 11syl3anc 1477 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
135, 12eqtrd 2794 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
1413fveq2d 6356 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))))
1514adantr 472 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))))
16 halfge0 11441 . . . 4 0 ≤ (1 / 2)
17 halflt1 11442 . . . 4 (1 / 2) < 1
1816, 17pm3.2i 470 . . 3 (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
19 zob 15285 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
2019biimpa 502 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21 halfre 11438 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ
22 flbi2 12812 . . . 4 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2320, 21, 22sylancl 697 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2418, 23mpbiri 248 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2))
2515, 24eqtrd 2794 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  2c2 11262  cz 11569  cfl 12785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fl 12787
This theorem is referenced by:  nn0ofldiv2  42836  dignn0flhalflem2  42920  nn0sumshdiglemB  42924
  Copyright terms: Public domain W3C validator