Theorem znnenlem 15159

Description: Lemma for znnen 15160. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnenlem	⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (2 · 𝑥) = ((-2 · 𝑦) + 1)))

Proof of Theorem znnenlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11593	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
2		zre 11593	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
3		0re 10252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnle 10329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑦))
5	3, 4	mpan2 709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑦))
6	5	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑦))
7	6	anbi1d 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 0 ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (¬ 0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 𝑥)))
8		ltletr 10341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 0 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
9	3, 8	mp3an2 1561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 0 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
10	7, 9	sylbird 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((¬ 0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
11	10	ancoms 468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((¬ 0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
12	11	ancomsd 469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → 𝑦 < 𝑥))
13		ltne 10346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑦)
14	13	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → 𝑥 ≠ 𝑦))
15	14	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 → 𝑥 ≠ 𝑦))
16	12, 15	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦))
17	1, 2, 16	syl2an 495	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦))
18	17	impcom 445	. . 3 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
19		znegcl 11624	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
20		zneo 11672	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑦 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · -𝑦) + 1))
21	19, 20	sylan2 492	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · -𝑦) + 1))
22		2cn 11303	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		zcn 11594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
24		mulneg12 10680	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-2 · 𝑦) = (2 · -𝑦))
25	22, 23, 24	sylancr 698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-2 · 𝑦) = (2 · -𝑦))
26	25	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (-2 · 𝑦) = (2 · -𝑦))
27	26	oveq1d 6829	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((-2 · 𝑦) + 1) = ((2 · -𝑦) + 1))
28	21, 27	neeqtrrd 3006	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((-2 · 𝑦) + 1))
29	28	adantl 473	. . 3 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (2 · 𝑥) ≠ ((-2 · 𝑦) + 1))
30	18, 29	2thd 255	. 2 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (2 · 𝑥) ≠ ((-2 · 𝑦) + 1)))
31	30	necon4bid 2977	1 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (2 · 𝑥) = ((-2 · 𝑦) + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286   ≤ cle 10287  -cneg 10479  2c2 11282  ℤcz 11589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590

This theorem is referenced by: (None)