MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znleval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znleval 19884
Description: The ordering of the ℤ/n structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l = (le‘𝑌)
znleval.x 𝑋 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znleval (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))

Proof of Theorem znleval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 znle2.f . . . . . . 7 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
3 znle2.w . . . . . . 7 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
4 znle2.l . . . . . . 7 = (le‘𝑌)
51, 2, 3, 4znle2 19883 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))
6 relco 5621 . . . . . . . 8 Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)
7 relssdmrn 5644 . . . . . . . 8 (Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))
9 dmcoss 5374 . . . . . . . . 9 dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ dom 𝐹
10 df-rn 5115 . . . . . . . . . 10 ran 𝐹 = dom 𝐹
11 znleval.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝑌)
121, 11, 2, 3znf1o 19881 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1-onto𝑋)
13 f1ofo 6131 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑊1-1-onto𝑋𝐹:𝑊onto𝑋)
14 forn 6105 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑊onto𝑋 → ran 𝐹 = 𝑋)
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran 𝐹 = 𝑋)
1610, 15syl5eqr 2668 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → dom 𝐹 = 𝑋)
179, 16syl5sseq 3645 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ 𝑋)
18 rncoss 5375 . . . . . . . . 9 ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ ≤ )
19 rncoss 5375 . . . . . . . . . 10 ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ ran 𝐹
2019, 15syl5sseq 3645 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ 𝑋)
2118, 20syl5ss 3606 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ 𝑋)
22 xpss12 5215 . . . . . . . 8 ((dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ 𝑋 ∧ ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ 𝑋) → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
2317, 21, 22syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
248, 23syl5ss 3606 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
255, 24eqsstrd 3631 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
2625ssbrd 4687 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵))
27 brxp 5137 . . . 4 (𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋))
2826, 27syl6ib 241 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵 → (𝐴𝑋𝐵𝑋)))
2928pm4.71rd 666 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵 ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵)))
305adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))
3130breqd 4655 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴 𝐵𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)𝐵))
32 brcog 5277 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐹𝑥𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
3332adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐹𝑥𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
34 eqcom 2627 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴) = 𝑥)
3512adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐹:𝑊1-1-onto𝑋)
36 f1ocnv 6136 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑊1-1-onto𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑊)
37 f1ofn 6125 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑊𝐹 Fn 𝑋)
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐹 Fn 𝑋)
39 simprl 793 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
40 fnbrfvb 6223 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn 𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) = 𝑥𝐴𝐹𝑥))
4138, 39, 40syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴) = 𝑥𝐴𝐹𝑥))
4234, 41syl5rbb 273 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐹𝑥𝑥 = (𝐹𝐴)))
4342anbi1d 740 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐹𝑥𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (𝑥 = (𝐹𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
4443exbidv 1848 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (∃𝑥(𝐴𝐹𝑥𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
4533, 44bitrd 268 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
46 fvex 6188 . . . . . . 7 (𝐹𝐴) ∈ V
47 breq1 4647 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝐴) → (𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (𝐹𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵))
4846, 47ceqsexv 3237 . . . . . 6 (∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (𝐹𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)
49 simprr 795 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
50 brcog 5277 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴) ∈ V ∧ 𝐵𝑋) → ((𝐹𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵)))
5146, 49, 50sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵)))
52 fvex 6188 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵) ∈ V
53 breq2 4648 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝐵) → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
5452, 53ceqsexv 3237 . . . . . . . 8 (∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))
55 eqcom 2627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐹𝐵) ↔ (𝐹𝐵) = 𝑥)
56 fnbrfvb 6223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn 𝑋𝐵𝑋) → ((𝐹𝐵) = 𝑥𝐵𝐹𝑥))
5738, 49, 56syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐵) = 𝑥𝐵𝐹𝑥))
5855, 57syl5bb 272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑥 = (𝐹𝐵) ↔ 𝐵𝐹𝑥))
59 vex 3198 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
60 brcnvg 5292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵𝑋𝑥 ∈ V) → (𝐵𝐹𝑥𝑥𝐹𝐵))
6149, 59, 60sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵𝐹𝑥𝑥𝐹𝐵))
6258, 61bitrd 268 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑥 = (𝐹𝐵) ↔ 𝑥𝐹𝐵))
6362anbi1d 740 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝑥 = (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (𝑥𝐹𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥)))
64 ancom 466 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵) ↔ (𝑥𝐹𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥))
6563, 64syl6bbr 278 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝑥 = (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵)))
6665exbidv 1848 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵)))
6754, 66syl5bbr 274 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵) ↔ ∃𝑥((𝐹𝐴) ≤ 𝑥𝑥𝐹𝐵)))
6851, 67bitr4d 271 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
6948, 68syl5bb 272 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (𝐹𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
7031, 45, 693bitrd 294 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
7170pm5.32da 672 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))
72 df-3an 1038 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
7371, 72syl6bbr 278 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))
7429, 73bitrd 268 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  Vcvv 3195  wss 3567  ifcif 4077   class class class wbr 4644   × cxp 5102  ccnv 5103  dom cdm 5104  ran crn 5105  cres 5106  ccom 5108  Rel wrel 5109   Fn wfn 5871  ontowfo 5874  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  cle 10060  0cn0 11277  cz 11362  ..^cfzo 12449  Basecbs 15838  lecple 15929  ℤRHomczrh 19829  ℤ/nczn 19832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-ec 7729  df-qs 7733  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-dvds 14965  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-0g 16083  df-imas 16149  df-qus 16150  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-nsg 17573  df-eqg 17574  df-ghm 17639  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-rnghom 18696  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-lidl 19155  df-rsp 19156  df-2idl 19213  df-cnfld 19728  df-zring 19800  df-zrh 19833  df-zn 19836
This theorem is referenced by:  znleval2  19885
  Copyright terms: Public domain W3C validator