MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znf1o 19948
Description: The function 𝐹 enumerates all equivalence classes in ℤ/n for each 𝑛. When 𝑛 = 0, ℤ / 0ℤ = ℤ / {0} ≈ ℤ so we let 𝑊 = ℤ; otherwise 𝑊 = {0, ..., 𝑛 − 1} enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znf1o.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
znf1o.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znf1o.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
Assertion
Ref Expression
znf1o (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1-onto𝐵)

Proof of Theorem znf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znf1o.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 19941 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
3 crngring 18604 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4 eqid 2651 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
54zrhrhm 19908 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
6 zringbas 19872 . . . . . . 7 ℤ = (Base‘ℤring)
7 znf1o.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
86, 7rhmf 18774 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
92, 3, 5, 84syl 19 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
10 znf1o.w . . . . . 6 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
11 sseq1 3659 . . . . . . 7 (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
12 sseq1 3659 . . . . . . 7 ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
13 ssid 3657 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℤ
14 elfzoelz 12509 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
1514ssriv 3640 . . . . . . 7 (0..^𝑁) ⊆ ℤ
1611, 12, 13, 15keephyp 4185 . . . . . 6 if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
1710, 16eqsstri 3668 . . . . 5 𝑊 ⊆ ℤ
18 fssres 6108 . . . . 5 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵𝑊 ⊆ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊𝐵)
199, 17, 18sylancl 695 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊𝐵)
20 znf1o.f . . . . 5 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
2120feq1i 6074 . . . 4 (𝐹:𝑊𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊𝐵)
2219, 21sylibr 224 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊𝐵)
2320fveq1i 6230 . . . . . . . 8 (𝐹𝑥) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥)
24 fvres 6245 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
2524ad2antrl 764 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
2623, 25syl5eq 2697 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝐹𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
2720fveq1i 6230 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦)
28 fvres 6245 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
2928ad2antll 765 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
3027, 29syl5eq 2697 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝐹𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
3126, 30eqeq12d 2666 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
32 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33 simprl 809 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥𝑊)
3417, 33sseldi 3634 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
35 simprr 811 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦𝑊)
3617, 35sseldi 3634 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
371, 4zndvds 19946 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
3832, 34, 36, 37syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
39 elnn0 11332 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
40 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ)
41 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥𝑊)
4217, 41sseldi 3634 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
43 simprr 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦𝑊)
4417, 43sseldi 3634 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45 moddvds 15038 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
4640, 42, 44, 45syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
4742zred 11520 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
50 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
51 ifnefalse 4131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
5310, 52syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑊 = (0..^𝑁))
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑊 = (0..^𝑁))
5541, 54eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
56 elfzole1 12517 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑥)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 0 ≤ 𝑥)
58 elfzolt2 12518 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 < 𝑁)
5955, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 < 𝑁)
60 modid 12735 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑁)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
6147, 49, 57, 59, 60syl22anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
6244zred 11520 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6343, 54eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
64 elfzole1 12517 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑦)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 0 ≤ 𝑦)
66 elfzolt2 12518 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
6763, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 < 𝑁)
68 modid 12735 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
6962, 49, 65, 67, 68syl22anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
7061, 69eqeq12d 2666 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑥 = 𝑦))
7146, 70bitr3d 270 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
72 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 = 0)
7372breq1d 4695 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 0 ∥ (𝑥𝑦)))
74 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
75 0nn0 11345 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
7674, 75syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7776, 34sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
7876, 36sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
7977, 78zsubcld 11525 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥𝑦) ∈ ℤ)
80 0dvds 15049 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) = 0))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (0 ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) = 0))
8277zcnd 11521 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8378zcnd 11521 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℂ)
8482, 83subeq0ad 10440 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝑥𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
8573, 81, 843bitrd 294 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8671, 85jaoian 841 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8739, 86sylanb 488 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8831, 38, 873bitrd 294 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8988biimpd 219 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
9089ralrimivva 3000 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥𝑊𝑦𝑊 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
91 dff13 6552 . . 3 (𝐹:𝑊1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝑊𝐵 ∧ ∀𝑥𝑊𝑦𝑊 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
9222, 90, 91sylanbrc 699 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1𝐵)
93 zmodfzo 12733 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
9493ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
9553adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑊 = (0..^𝑁))
9694, 95eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊)
97 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
98 modabs2 12744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
9997, 48, 98syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
100 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
10115, 94sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ)
102 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
103 moddvds 15038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
104100, 101, 102, 103syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
10599, 104mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧))
106 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1081, 4zndvds 19946 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
109107, 101, 102, 108syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
110105, 109mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
111110eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
112 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑧 mod 𝑁) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
113112eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧 mod 𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁))))
114113rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁))) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
11596, 111, 114syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
116 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = ℤ)
117116eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → (𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ↔ 𝑧 ∈ ℤ))
118117biimpar 501 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
119118, 10syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧𝑊)
120 eqidd 2652 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
121 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
122121eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)))
123122rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
124119, 120, 123syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
125115, 124jaoian 841 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
12639, 125sylanb 488 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
12727, 28syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑊 → (𝐹𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
128127eqeq2d 2661 . . . . . . . 8 (𝑦𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
129128rexbiia 3069 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦) ↔ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
130126, 129sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦))
131130ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦))
1321, 7, 4znzrhfo 19944 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto𝐵)
133 fofn 6155 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto𝐵 → (ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ)
134 eqeq1 2655 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
135134rexbidv 3081 . . . . . . 7 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
136135ralrn 6402 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
137132, 133, 1363syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
138131, 137mpbird 247 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦))
139 forn 6156 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto𝐵 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
140132, 139syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
141140raleqdv 3174 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦)))
142138, 141mpbid 222 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦))
143 dffo3 6414 . . 3 (𝐹:𝑊onto𝐵 ↔ (𝐹:𝑊𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦)))
14422, 142, 143sylanbrc 699 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊onto𝐵)
145 df-f1o 5933 . 2 (𝐹:𝑊1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝑊1-1𝐵𝐹:𝑊onto𝐵))
14692, 144, 145sylanbrc 699 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  ran crn 5144  cres 5145   Fn wfn 5921  wf 5922  1-1wf1 5923  ontowfo 5924  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  +crp 11870  ..^cfzo 12504   mod cmo 12708  cdvds 15027  Basecbs 15904  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594   RingHom crh 18760  ringzring 19866  ℤRHomczrh 19896  ℤ/nczn 19899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-dvds 15028  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-imas 16215  df-qus 16216  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-rnghom 18763  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zn 19903
This theorem is referenced by:  zzngim  19949  znleval  19951  zntoslem  19953  znhash  19955  znunithash  19961  dchrisumlem1  25223
  Copyright terms: Public domain W3C validator