Theorem znegcl 11409

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 11376	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 10270	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 10324	. . . . . 6 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	syl6eq 2671	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 11385	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	syl6eqel 2708	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 11377	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 11396	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1390	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
11	1, 10	sylbi 207	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∨ w3o 1036   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  ℝcr 9932  0cc0 9933  -cneg 10264  ℕcn 11017  ℤcz 11374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-z 11375

This theorem is referenced by:  znegclb  11411  nn0negz  11412  zsubcl  11416  zeo  11460  zindd  11475  znegcld  11481  zriotaneg  11488  uzneg  11703  zmax  11782  rebtwnz  11784  qnegcl  11802  fzsubel  12374  fzosubel  12522  ceilid  12645  modcyc2  12701  expsub  12903  seqshft  13819  climshft  14301  znnenlem  14934  negdvdsb  14992  dvdsnegb  14993  summodnegmod  15006  dvdssub  15020  odd2np1  15059  divalglem6  15115  bitscmp  15154  gcdneg  15237  neggcd  15238  gcdaddmlem  15239  gcdabs  15244  lcmneg  15310  neglcm  15311  lcmabs  15312  mulgaddcomlem  17557  mulgneg2  17569  mulgsubdir  17576  cycsubgcl  17614  zaddablx  18269  cyggeninv  18279  zsubrg  19793  zringmulg  19820  zringinvg  19829  aaliou3lem9  24099  sinperlem  24226  wilthlem3  24790  basellem3  24803  basellem4  24804  basellem8  24808  basellem9  24809  lgsneg  25040  lgsdir2lem4  25047  lgsdir2lem5  25048  ex-fl  27288  ex-mod  27290  pell1234qrdich  37251  rmxyneg  37311  monotoddzzfi  37333  monotoddzz  37334  oddcomabszz  37335  jm2.24  37356  acongtr  37371  fzneg  37375  jm2.26a  37393  cosknegpi  39849  enege  41329  onego  41330  0nodd  41581  2zrngagrp  41714  zlmodzxzequap  42059  flsubz  42083  digvalnn0  42164  dig0  42171  dig2nn0  42176