Theorem znegcl 11613

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 11580	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 10474	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 10528	. . . . . 6 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	syl6eq 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 11589	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	syl6eqel 2857	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 11581	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 11600	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1538	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantl 467	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
11	1, 10	sylbi 207	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∨ w3o 1069   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ℝcr 10136  0cc0 10137  -cneg 10468  ℕcn 11221  ℤcz 11578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-z 11579

This theorem is referenced by:  znegclb  11615  nn0negz  11616  zsubcl  11620  zeo  11664  zindd  11679  znegcld  11685  zriotaneg  11692  uzneg  11906  zmax  11987  rebtwnz  11989  qnegcl  12007  fzsubel  12583  fzosubel  12734  ceilid  12857  modcyc2  12913  expsub  13114  seqshft  14032  climshft  14514  znnenlem  15145  negdvdsb  15206  dvdsnegb  15207  summodnegmod  15220  dvdssub  15234  odd2np1  15272  divalglem6  15328  bitscmp  15367  gcdneg  15450  neggcd  15451  gcdaddmlem  15452  gcdabs  15457  lcmneg  15523  neglcm  15524  lcmabs  15525  mulgaddcomlem  17770  mulgneg2  17782  mulgsubdir  17789  cycsubgcl  17827  zaddablx  18481  cyggeninv  18491  zsubrg  20013  zringmulg  20040  zringinvg  20049  aaliou3lem9  24324  sinperlem  24452  wilthlem3  25016  basellem3  25029  basellem4  25030  basellem8  25034  basellem9  25035  lgsneg  25266  lgsdir2lem4  25273  lgsdir2lem5  25274  ex-fl  27640  ex-mod  27642  pell1234qrdich  37944  rmxyneg  38004  monotoddzzfi  38026  monotoddzz  38027  oddcomabszz  38028  jm2.24  38049  acongtr  38064  fzneg  38068  jm2.26a  38086  cosknegpi  40592  enege  42076  onego  42077  0nodd  42328  2zrngagrp  42461  zlmodzxzequap  42806  flsubz  42830  digvalnn0  42911  dig0  42918  dig2nn0  42923