MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmulcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmulcld 11680
Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zmulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 zaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3 zmulcl 11618 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6813   · cmul 10133  cz 11569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570
This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  12824  flhalf  12825  quoremz  12848  intfracq  12852  zmodcl  12884  modmul1  12917  sqoddm1div8  13222  eirrlem  15131  modmulconst  15215  dvds2ln  15216  dvdsmod  15252  3dvds  15254  3dvdsOLD  15255  even2n  15268  mod2eq1n2dvds  15273  2tp1odd  15278  ltoddhalfle  15287  m1expo  15294  m1exp1  15295  modremain  15334  flodddiv4  15339  bits0e  15353  bits0o  15354  bitsp1e  15356  bitsp1o  15357  bitsmod  15360  bitscmp  15362  bitsinv1lem  15365  bitsuz  15398  bitsshft  15399  smumullem  15416  smumul  15417  bezoutlem3  15460  bezoutlem4  15461  mulgcd  15467  dvdsmulgcd  15476  bezoutr  15483  lcmgcdlem  15521  mulgcddvds  15571  rpmulgcd2  15572  coprmprod  15577  divgcdcoprm0  15581  cncongr1  15583  cncongr2  15584  exprmfct  15618  hashdvds  15682  eulerthlem1  15688  eulerthlem2  15689  prmdiv  15692  prmdiveq  15693  pcpremul  15750  pcqmul  15760  pcaddlem  15794  prmpwdvds  15810  4sqlem5  15848  4sqlem10  15853  4sqlem14  15864  mulgass  17780  mulgmodid  17782  odmod  18165  odmulgid  18171  odbezout  18175  gexdvds  18199  odadd1  18451  odadd2  18452  torsubg  18457  ablfacrp  18665  pgpfac1lem2  18674  pgpfac1lem3a  18675  pgpfac1lem3  18676  znunit  20114  znrrg  20116  dyaddisjlem  23563  elqaalem3  24275  aalioulem1  24286  aaliou3lem2  24297  aaliou3lem8  24299  dvdsmulf1o  25119  lgsdirprm  25255  lgsdir  25256  lgsdilem2  25257  lgsdi  25258  gausslemma2dlem1a  25289  gausslemma2dlem5a  25294  gausslemma2dlem5  25295  gausslemma2dlem6  25296  gausslemma2dlem7  25297  gausslemma2d  25298  lgseisenlem1  25299  lgseisenlem2  25300  lgseisenlem3  25301  lgseisenlem4  25302  lgsquadlem1  25304  lgsquad2lem1  25308  lgsquad3  25311  2lgslem1a1  25313  2lgslem1a2  25314  2lgslem1b  25316  2lgslem3b1  25325  2lgslem3c1  25326  2lgsoddprmlem2  25333  2sqlem3  25344  2sqlem4  25345  2sqblem  25355  ex-ind-dvds  27629  2sqmod  29957  qqhghm  30341  qqhrhm  30342  breprexplemc  31019  circlemeth  31027  dvdspw  31943  knoppndvlem2  32810  pellexlem5  37899  pellexlem6  37900  pell1234qrmulcl  37921  congmul  38036  jm2.18  38057  jm2.19lem1  38058  jm2.19lem2  38059  jm2.19lem3  38060  jm2.19lem4  38061  jm2.22  38064  jm2.23  38065  jm2.20nn  38066  jm2.25  38068  jm2.15nn0  38072  jm2.16nn0  38073  jm2.27c  38076  jm3.1lem3  38088  jm3.1  38089  expdiophlem1  38090  inductionexd  38955  sumnnodd  40365  wallispilem4  40788  stirlinglem3  40796  stirlinglem7  40800  stirlinglem10  40803  stirlinglem11  40804  dirkertrigeqlem1  40818  dirkertrigeqlem3  40820  dirkertrigeq  40821  dirkercncflem2  40824  fourierswlem  40950  fouriersw  40951  etransclem3  40957  etransclem7  40961  etransclem10  40964  etransclem25  40979  etransclem26  40980  etransclem27  40981  etransclem28  40982  etransclem35  40989  etransclem37  40991  etransclem44  40998  etransclem45  40999  fmtnoprmfac2lem1  41988  fmtno4prmfac  41994  2pwp1prm  42013  mod42tp1mod8  42029  lighneallem4b  42036  lighneallem4  42037  2zlidl  42444  dignn0fr  42905  dignn0flhalflem1  42919
  Copyright terms: Public domain W3C validator