Theorem zmulcl 11464

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zmulcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 11430	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
2		elznn0 11430	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
3		nn0mulcl 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
4	3	orcd 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
6		remulcl 10059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
7	5, 6	jctild 565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
8		nn0mulcl 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
9		recn 10064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℂ)
10		recn 10064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
11		mulneg1 10504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
12	9, 10, 11	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
13	12	eleq1d 2715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
14	8, 13	syl5ib 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
15		olc 398	. . . . . . . 8 ⊢ (-(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
16	14, 15	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
17	16, 6	jctild 565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
18		nn0mulcl 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0)
19		mulneg2 10505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
20	9, 10, 19	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
21	20	eleq1d 2715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
22	18, 21	syl5ib 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
23	22, 15	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
24	23, 6	jctild 565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
25		nn0mulcl 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0)
26		mul2neg 10507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
27	9, 10, 26	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
28	27	eleq1d 2715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
29	25, 28	syl5ib 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
30		orc 399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
31	29, 30	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
32	31, 6	jctild 565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
33	7, 17, 24, 32	ccased 1007	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
34		elznn0 11430	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
35	33, 34	syl6ibr 242	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ))
36	35	imp 444	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
37	36	an4s 886	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
38	1, 2, 37	syl2anb 495	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973   · cmul 9979  -cneg 10305  ℕ₀cn0 11330  ℤcz 11415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416

This theorem is referenced by:  zdivmul  11487  msqznn  11497  zmulcld  11526  uz2mulcl  11804  qaddcl  11842  qmulcl  11844  qreccl  11846  fzctr  12490  flmulnn0  12668  zexpcl  12915  iexpcyc  13009  zesq  13027  cshweqrep  13613  fprodzcl  14728  zrisefaccl  14795  zfallfaccl  14796  dvdsmul1  15050  dvdsmul2  15051  muldvds1  15053  muldvds2  15054  dvdscmul  15055  dvdsmulc  15056  dvdscmulr  15057  dvdsmulcr  15058  dvds2ln  15061  dvdstr  15065  dvdsmultr1  15066  dvdsmultr2  15068  3dvdsdec  15101  3dvdsdecOLD  15102  3dvds2dec  15103  3dvds2decOLD  15104  oexpneg  15116  mulsucdiv2z  15124  divalglem0  15163  divalglem2  15165  divalglem4  15166  divalglem8  15170  divalgb  15174  divalgmod  15176  divalgmodOLD  15177  ndvdsi  15183  gcdaddmlem  15292  absmulgcd  15313  gcdmultiple  15316  gcdmultiplez  15317  dvdsmulgcd  15321  rpmulgcd  15322  lcmcllem  15356  coprmdvdsOLD  15414  rpmul  15420  cncongr1  15428  cncongr2  15429  eulerthlem2  15534  modprminv  15551  modprminveq  15552  modprm0  15557  pythagtriplem4  15571  pcpremul  15595  pcmul  15603  gzmulcl  15689  pgpfac1lem2  18520  zsubrg  19847  dvdsrzring  19879  mulgrhm  19894  domnchr  19928  znfld  19957  znunit  19960  mbfi1fseqlem5  23531  dvexp3  23786  basellem2  24853  basellem5  24856  dvdsflf1o  24958  chtub  24982  bposlem1  25054  bposlem5  25058  bposlem6  25059  lgslem3  25069  lgsval4a  25089  lgsneg  25091  lgsdir2  25100  lgsdchr  25125  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem2  25146  lgseisenlem3  25147  lgsquadlem1  25150  lgsquad2lem2  25155  2lgsoddprmlem2  25179  chebbnd1lem1  25203  chebbnd1lem3  25205  knoppndvlem2  32629  fzmul  33667  mzpclall  37607  mzpindd  37626  acongrep  37864  acongeq  37867  jm2.18  37872  jm2.21  37878  jm2.26a  37884  jm2.26  37886  jm2.16nn0  37888  jm2.27a  37889  jm2.27c  37891  jm3.1lem3  37903  fourierswlem  40765  oexpnegALTV  41913  oexpnegnz  41914  tgblthelfgott  42028  tgblthelfgottOLD  42034  2zrngmmgm  42271  zlmodzxzequa  42610  zlmodzxzequap  42613