Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzsub 42666
Description: The subtraction of the -module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzsub.m = (-g𝑍)
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzsub (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzsub
StepHypRef Expression
1 zsubcl 11621 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
2 simpr 471 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
31, 2jca 501 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
4 zsubcl 11621 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶𝐷) ∈ ℤ)
5 simpr 471 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
64, 5jca 501 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
7 zlmodzxz.z . . . . 5 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
8 eqid 2771 . . . . 5 (+g𝑍) = (+g𝑍)
97, 8zlmodzxzadd 42664 . . . 4 ((((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩})
103, 6, 9syl2an 583 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩})
11 zcn 11584 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12 zcn 11584 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
13 npcan 10492 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
1411, 12, 13syl2an 583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
1514adantr 466 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
1615opeq2d 4546 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩ = ⟨0, 𝐴⟩)
17 zcn 11584 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
18 zcn 11584 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
19 npcan 10492 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
2017, 18, 19syl2an 583 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
2120adantl 467 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐶𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
2221opeq2d 4546 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩ = ⟨1, 𝐶⟩)
2316, 22preq12d 4412 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
2410, 23eqtrd 2805 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
257zlmodzxzlmod 42660 . . . 4 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
26 lmodgrp 19080 . . . . 5 (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ Grp)
2726adantr 466 . . . 4 ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ Grp)
2825, 27mp1i 13 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Grp)
297zlmodzxzel 42661 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
3029ad2ant2r 741 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
317zlmodzxzel 42661 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
322, 5, 31syl2an 583 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
337zlmodzxzel 42661 . . . 4 (((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℤ) → {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
341, 4, 33syl2an 583 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
35 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
36 zlmodzxzsub.m . . . 4 = (-g𝑍)
3735, 8, 36grpsubadd 17711 . . 3 ((𝑍 ∈ Grp ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
3828, 30, 32, 34, 37syl13anc 1478 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
3924, 38mpbird 247 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {cpr 4318  cop 4322  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  cmin 10468  cz 11579  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Scalarcsca 16152  Grpcgrp 17630  -gcsg 17632  LModclmod 19073  ringzring 20033   freeLMod cfrlm 20307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-dsmm 20293  df-frlm 20308
This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  42813
  Copyright terms: Public domain W3C validator