Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem 42612
 Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem 𝐴𝐵

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem
StepHypRef Expression
1 opex 4962 . . . . 5 ⟨0, 3⟩ ∈ V
2 opex 4962 . . . . 5 ⟨1, 6⟩ ∈ V
31, 2pm3.2i 470 . . . 4 (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
4 opex 4962 . . . . 5 ⟨0, 2⟩ ∈ V
5 opex 4962 . . . . 5 ⟨1, 4⟩ ∈ V
64, 5pm3.2i 470 . . . 4 (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
73, 6pm3.2i 470 . . 3 ((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
8 2re 11128 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
9 2lt3 11233 . . . . . . . 8 2 < 3
108, 9gtneii 10187 . . . . . . 7 3 ≠ 2
1110olci 405 . . . . . 6 (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2)
12 c0ex 10072 . . . . . . 7 0 ∈ V
13 3ex 11134 . . . . . . 7 3 ∈ V
1412, 13opthne 4980 . . . . . 6 (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2))
1511, 14mpbir 221 . . . . 5 ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩
16 0ne1 11126 . . . . . . 7 0 ≠ 1
1716orci 404 . . . . . 6 (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4)
1812, 13opthne 4980 . . . . . 6 (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4))
1917, 18mpbir 221 . . . . 5 ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩
2015, 19pm3.2i 470 . . . 4 (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
2120orci 404 . . 3 ((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
22 prneimg 4419 . . 3 (((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
237, 21, 22mp2 9 . 2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
24 zlmodzxzldep.a . . 3 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
25 zlmodzxzldep.b . . 3 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
2624, 25neeq12i 2889 . 2 (𝐴𝐵 ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
2723, 26mpbir 221 1 𝐴𝐵
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231  {cpr 4212  ⟨cop 4216  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  6c6 11112  ℤringzring 19866   freeLMod cfrlm 20138 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-2 11117  df-3 11118 This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  42614  zlmodzxzldeplem3  42616  zlmodzxzldeplem4  42617  ldepsnlinc  42622
 Copyright terms: Public domain W3C validator