Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldep 42818
Description: { A , B } is a linearly dependent set within the -module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldep {𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍

Proof of Theorem zlmodzxzldep
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.z . . . 4 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2 zlmodzxzldep.a . . . 4 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3 zlmodzxzldep.b . . . 4 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
4 eqid 2769 . . . 4 {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
51, 2, 3, 4zlmodzxzldeplem1 42814 . . 3 {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})
61, 2, 3, 4zlmodzxzldeplem2 42815 . . . 4 {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0
71, 2, 3, 4zlmodzxzldeplem3 42816 . . . 4 ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍)
81, 2, 3, 4zlmodzxzldeplem4 42817 . . . 4 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0
96, 7, 83pm3.2i 1421 . . 3 ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)
10 breq1 4786 . . . . 5 (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥 finSupp 0 ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0))
11 oveq1 6798 . . . . . 6 (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}))
1211eqeq1d 2771 . . . . 5 (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍)))
13 fveq1 6330 . . . . . . 7 (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥𝑦) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦))
1413neeq1d 3000 . . . . . 6 (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥𝑦) ≠ 0 ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0))
1514rexbidv 3198 . . . . 5 (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥𝑦) ≠ 0 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0))
1610, 12, 153anbi123d 1545 . . . 4 (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥𝑦) ≠ 0) ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)))
1716rspcev 3457 . . 3 (({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵}) ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥𝑦) ≠ 0))
185, 9, 17mp2an 707 . 2 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥𝑦) ≠ 0)
19 ovex 6821 . . . 4 (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ V
201, 19eqeltri 2844 . . 3 𝑍 ∈ V
21 3z 11610 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
22 6nn 11389 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
2322nnzi 11601 . . . . . 6 6 ∈ ℤ
241zlmodzxzel 42658 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
2521, 23, 24mp2an 707 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
262, 25eqeltri 2844 . . . 4 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
27 2z 11609 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
28 4z 11611 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
291zlmodzxzel 42658 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
3027, 28, 29mp2an 707 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
313, 30eqeltri 2844 . . . 4 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
32 prelpwi 5042 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍))
3326, 31, 32mp2an 707 . . 3 {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)
34 eqid 2769 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
35 eqid 2769 . . . 4 (0g𝑍) = (0g𝑍)
361zlmodzxzlmod 42657 . . . . 5 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
3736simpri 482 . . . 4 ring = (Scalar‘𝑍)
38 zringbas 20045 . . . 4 ℤ = (Base‘ℤring)
39 zring0 20049 . . . 4 0 = (0g‘ℤring)
4034, 35, 37, 38, 39islindeps 42767 . . 3 ((𝑍 ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)) → ({𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍 ↔ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥𝑦) ≠ 0)))
4120, 33, 40mp2an 707 . 2 ({𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍 ↔ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥𝑦) ≠ 0))
4218, 41mpbir 221 1 {𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  w3a 1069   = wceq 1629  wcel 2143  wne 2941  wrex 3060  Vcvv 3348  𝒫 cpw 4294  {cpr 4315  cop 4319   class class class wbr 4783  cfv 6030  (class class class)co 6791  𝑚 cmap 8007   finSupp cfsupp 8429  0cc0 10136  1c1 10137  -cneg 10467  2c2 11270  3c3 11271  4c4 11272  6c6 11274  cz 11577  Basecbs 16070  Scalarcsca 16158  0gc0g 16314  LModclmod 19079  ringzring 20039   freeLMod cfrlm 20313   linC clinc 42718   linDepS clindeps 42755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-iin 4654  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-se 5208  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-sup 8502  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13009  df-hash 13325  df-struct 16072  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-sets 16077  df-ress 16078  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-starv 16170  df-sca 16171  df-vsca 16172  df-ip 16173  df-tset 16174  df-ple 16175  df-ds 16178  df-unif 16179  df-hom 16180  df-cco 16181  df-0g 16316  df-gsum 16317  df-prds 16322  df-pws 16324  df-mre 16460  df-mrc 16461  df-acs 16463  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-submnd 17550  df-grp 17639  df-minusg 17640  df-sbg 17641  df-mulg 17755  df-subg 17805  df-cntz 17963  df-cmn 18408  df-abl 18409  df-mgp 18704  df-ur 18716  df-ring 18763  df-cring 18764  df-subrg 18994  df-lmod 19081  df-lss 19149  df-sra 19393  df-rgmod 19394  df-cnfld 19968  df-zring 20040  df-dsmm 20299  df-frlm 20314  df-linc 42720  df-lininds 42756  df-lindeps 42758
This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  42822
  Copyright terms: Public domain W3C validator