Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzequap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzequap 42816
Description: Example of an equation within the -module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set), written as a sum. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzequap.o 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequap.m + = (+g𝑍)
zlmodzxzequap.t = ( ·𝑠𝑍)
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzequap ((2 𝐴) + (-3 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequap
StepHypRef Expression
1 3cn 11307 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2 2cn 11303 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
31, 2mulneg1i 10688 . . . . . 6 (-3 · 2) = -(3 · 2)
43oveq2i 6825 . . . . 5 ((2 · 3) + (-3 · 2)) = ((2 · 3) + -(3 · 2))
52, 1mulcli 10257 . . . . . 6 (2 · 3) ∈ ℂ
61, 2mulcli 10257 . . . . . 6 (3 · 2) ∈ ℂ
7 negsub 10541 . . . . . . 7 (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = ((2 · 3) − (3 · 2)))
81, 2mulcomi 10258 . . . . . . . . 9 (3 · 2) = (2 · 3)
98oveq2i 6825 . . . . . . . 8 ((2 · 3) − (3 · 2)) = ((2 · 3) − (2 · 3))
105subidi 10564 . . . . . . . 8 ((2 · 3) − (2 · 3)) = 0
119, 10eqtri 2782 . . . . . . 7 ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
127, 11syl6eq 2810 . . . . . 6 (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0)
135, 6, 12mp2an 710 . . . . 5 ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0
144, 13eqtri 2782 . . . 4 ((2 · 3) + (-3 · 2)) = 0
1514opeq2i 4557 . . 3 ⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
16 4cn 11310 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
171, 16mulneg1i 10688 . . . . . 6 (-3 · 4) = -(3 · 4)
1817oveq2i 6825 . . . . 5 ((2 · 6) + (-3 · 4)) = ((2 · 6) + -(3 · 4))
19 6cn 11314 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
202, 19mulcli 10257 . . . . . . 7 (2 · 6) ∈ ℂ
211, 16mulcli 10257 . . . . . . 7 (3 · 4) ∈ ℂ
2220, 21negsubi 10571 . . . . . 6 ((2 · 6) + -(3 · 4)) = ((2 · 6) − (3 · 4))
23 2t6m3t4e0 42654 . . . . . 6 ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
2422, 23eqtri 2782 . . . . 5 ((2 · 6) + -(3 · 4)) = 0
2518, 24eqtri 2782 . . . 4 ((2 · 6) + (-3 · 4)) = 0
2625opeq2i 4557 . . 3 ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
2715, 26preq12i 4417 . 2 {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28 zlmodzxzldep.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
2928oveq2i 6825 . . . . 5 (2 𝐴) = (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
30 2z 11621 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
31 3z 11622 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
32 6nn 11401 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
3332nnzi 11613 . . . . . 6 6 ∈ ℤ
34 zlmodzxzldep.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
35 zlmodzxzequap.t . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑍)
3634, 35zlmodzxzscm 42663 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
3730, 31, 33, 36mp3an 1573 . . . . 5 (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
3829, 37eqtri 2782 . . . 4 (2 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
39 zlmodzxzldep.b . . . . . 6 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
4039oveq2i 6825 . . . . 5 (-3 𝐵) = (-3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
41 znegcl 11624 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → -3 ∈ ℤ)
4231, 41ax-mp 5 . . . . . 6 -3 ∈ ℤ
43 4z 11623 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
4434, 35zlmodzxzscm 42663 . . . . . 6 ((-3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (-3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩})
4542, 30, 43, 44mp3an 1573 . . . . 5 (-3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}
4640, 45eqtri 2782 . . . 4 (-3 𝐵) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}
4738, 46oveq12i 6826 . . 3 ((2 𝐴) + (-3 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩})
48 zmulcl 11638 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
4930, 31, 48mp2an 710 . . . 4 (2 · 3) ∈ ℤ
50 zmulcl 11638 . . . . 5 ((-3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-3 · 2) ∈ ℤ)
5142, 30, 50mp2an 710 . . . 4 (-3 · 2) ∈ ℤ
52 zmulcl 11638 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
5330, 33, 52mp2an 710 . . . 4 (2 · 6) ∈ ℤ
54 zmulcl 11638 . . . . 5 ((-3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (-3 · 4) ∈ ℤ)
5542, 43, 54mp2an 710 . . . 4 (-3 · 4) ∈ ℤ
56 zlmodzxzequap.m . . . . 5 + = (+g𝑍)
5734, 56zlmodzxzadd 42664 . . . 4 ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ (-3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ (-3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩})
5849, 51, 53, 55, 57mp4an 711 . . 3 ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩}
5947, 58eqtri 2782 . 2 ((2 𝐴) + (-3 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩}
60 zlmodzxzequap.o . 2 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
6127, 59, 603eqtr4i 2792 1 ((2 𝐴) + (-3 𝐵)) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {cpr 4323  cop 4327  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cmin 10478  -cneg 10479  2c2 11282  3c3 11283  4c4 11284  6c6 11286  cz 11589  +gcplusg 16163   ·𝑠 cvsca 16167  ringzring 20040   freeLMod cfrlm 20312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-prds 16330  df-pws 16332  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-subg 17812  df-cmn 18415  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-subrg 19000  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-cnfld 19969  df-zring 20041  df-dsmm 20298  df-frlm 20313
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem3  42819
  Copyright terms: Public domain W3C validator