MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zleltp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zleltp1 11466
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zleltp1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 < (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem zleltp1
StepHypRef Expression
1 zre 11419 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 zre 11419 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 1re 10077 . . . 4 1 ∈ ℝ
4 leadd1 10534 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
53, 4mp3an3 1453 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
61, 2, 5syl2an 493 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
7 peano2z 11456 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8 zltp1le 11465 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
97, 8sylan2 490 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
106, 9bitr4d 271 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 < (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  zltlem1  11468  nnleltp1  11470  nn0leltp1  11474  suprzcl  11495  le9lt10  11567  declecOLD  11582  uzwo  11789  flge  12646  flhalf  12671  om2uzlti  12789  seqf1olem1  12880  fz1isolem  13283  hashtpg  13305  ltoddhalfle  15132  prmind2  15445  prm23lt5  15566  prmreclem2  15668  prmgaplem8  15809  chfacfisf  20707  chfacfisfcpmat  20708  chfacfscmulgsum  20713  chfacfpmmulgsum  20717  plyco0  23993  plydivex  24097  logf1o2  24441  ang180lem3  24586  basellem3  24854  ppieq0  24947  chpeq0  24978  bposlem1  25054  bposlem6  25059  dchrvmasumiflem1  25235  mulog2sumlem2  25269  dp2lt10  29719  1smat1  29998  ballotlemfc0  30682  ballotlemfcc  30683  poimirlem24  33563  poimirlem28  33567  fdc  33671  irrapxlem1  37703  pellexlem5  37714  jm2.24  37847  zltlesub  39811  dvnxpaek  40475  fourierdlem50  40691  zgeltp1eq  41643  odz2prm2pw  41800  fmtno4prmfac  41809  2pwp1prm  41828  nnsum3primesle9  42007
  Copyright terms: Public domain W3C validator