Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zhmnrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zhmnrg 30345
Description: The -module built from a normed ring is also a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmlem2.1 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
zhmnrg (𝐺 ∈ NrmRing → 𝑊 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem zhmnrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2770 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmRing → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
3 zlmlem2.1 . . . . . . . . 9 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
43, 1zlmbas 20080 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmRing → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
6 eqid 2770 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
73, 6zlmplusg 20081 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝑊)
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmRing → (+g𝐺) = (+g𝑊))
98oveqdr 6818 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝑊)𝑦))
102, 5, 9grppropd 17644 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑊 ∈ Grp))
11 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
123, 11zlmds 30342 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmRing → (dist‘𝐺) = (dist‘𝑊))
1312reseq1d 5533 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmRing → ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))))
14 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘𝐺)
153, 14zlmtset 30343 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmRing → (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘𝑊))
165, 15topnpropd 16304 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmRing → (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑊))
172, 5, 13, 16mspropd 22498 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ MetSp ↔ 𝑊 ∈ MetSp))
18 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
193, 18zlmnm 30344 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmRing → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑊))
205, 8grpsubpropd 17727 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmRing → (-g𝐺) = (-g𝑊))
2119, 20coeq12d 5425 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmRing → ((norm‘𝐺) ∘ (-g𝐺)) = ((norm‘𝑊) ∘ (-g𝑊)))
2221, 12sseq12d 3781 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmRing → (((norm‘𝐺) ∘ (-g𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺) ↔ ((norm‘𝑊) ∘ (-g𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊)))
2310, 17, 223anbi123d 1546 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmRing → ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑊) ∘ (-g𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊))))
24 eqid 2770 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
2518, 24, 11isngp 22619 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)))
26 eqid 2770 . . . . . 6 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
27 eqid 2770 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
28 eqid 2770 . . . . . 6 (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
2926, 27, 28isngp 22619 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑊) ∘ (-g𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊)))
3023, 25, 293bitr4g 303 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ 𝑊 ∈ NrmGrp))
31 eqid 2770 . . . . . . . 8 (.r𝐺) = (.r𝐺)
323, 31zlmmulr 20082 . . . . . . 7 (.r𝐺) = (.r𝑊)
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmRing → (.r𝐺) = (.r𝑊))
345, 8, 33abvpropd2 29986 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmRing → (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝑊))
3519, 34eleq12d 2843 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmRing → ((norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺) ↔ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊)))
3630, 35anbi12d 608 . . 3 (𝐺 ∈ NrmRing → ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊))))
37 eqid 2770 . . . 4 (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝐺)
3818, 37isnrg 22683 . . 3 (𝐺 ∈ NrmRing ↔ (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺)))
39 eqid 2770 . . . 4 (AbsVal‘𝑊) = (AbsVal‘𝑊)
4026, 39isnrg 22683 . . 3 (𝑊 ∈ NrmRing ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊)))
4136, 38, 403bitr4g 303 . 2 (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ NrmRing ↔ 𝑊 ∈ NrmRing))
4241ibi 256 1 (𝐺 ∈ NrmRing → 𝑊 ∈ NrmRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wss 3721   × cxp 5247  ccom 5253  cfv 6031  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  .rcmulr 16149  TopSetcts 16154  distcds 16157  Grpcgrp 17629  -gcsg 17631  AbsValcabv 19025  ℤModczlm 20063  MetSpcmt 22342  normcnm 22600  NrmGrpcngp 22601  NrmRingcnrg 22603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-tset 16167  df-ds 16171  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mgp 18697  df-ring 18756  df-abv 19026  df-zlm 20067  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-xms 22344  df-ms 22345  df-nm 22606  df-ngp 22607  df-nrg 22609
This theorem is referenced by:  cnzh  30348  rezh  30349  qqhnm  30368
  Copyright terms: Public domain W3C validator