MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfregs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zfregs2 8794
Description: Alternate strong form of the Axiom of Regularity. Not every element of a nonempty class contains some element of that class. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 27-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zfregs2
StepHypRef Expression
1 zfregs 8793 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
2 incom 3963 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴) = (𝐴𝑥)
32eqeq1i 2779 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴) = ∅ ↔ (𝐴𝑥) = ∅)
43rexbii 3193 . . . . . 6 (∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅)
51, 4sylib 209 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅)
6 disj1 4172 . . . . . 6 ((𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
76rexbii 3193 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
85, 7sylib 209 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
9 alinexa 1923 . . . . 5 (∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
109rexbii 3193 . . . 4 (∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
118, 10sylib 209 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
12 dfrex2 3147 . . 3 (∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1311, 12sylib 209 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
14 notnotb 305 . . 3 (∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1514ralbii 3132 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1613, 15sylnibr 319 1 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  wal 1632   = wceq 1634  wex 1855  wcel 2148  wne 2946  wral 3064  wrex 3065  cin 3728  c0 4073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-reg 8674  ax-inf2 8723
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-om 7234  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680
This theorem is referenced by:  en3lpVD  39614
  Copyright terms: Public domain W3C validator