MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfregs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zfregs2 8647
Description: Alternate strong form of the Axiom of Regularity. Not every element of a nonempty class contains some element of that class. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 27-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zfregs2
StepHypRef Expression
1 zfregs 8646 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
2 incom 3838 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴) = (𝐴𝑥)
32eqeq1i 2656 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴) = ∅ ↔ (𝐴𝑥) = ∅)
43rexbii 3070 . . . . . 6 (∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅)
51, 4sylib 208 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅)
6 disj1 4052 . . . . . 6 ((𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
76rexbii 3070 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
85, 7sylib 208 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
9 alinexa 1810 . . . . 5 (∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
109rexbii 3070 . . . 4 (∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
118, 10sylib 208 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
12 dfrex2 3025 . . 3 (∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1311, 12sylib 208 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
14 notnotb 304 . . 3 (∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1514ralbii 3009 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1613, 15sylnibr 318 1 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  wal 1521   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cin 3606  c0 3948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-reg 8538  ax-inf2 8576
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551
This theorem is referenced by:  en3lpVD  39394
  Copyright terms: Public domain W3C validator