MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zexpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zexpcl 13081
Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
zexpcl ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsscn 11586 . 2 ℤ ⊆ ℂ
2 zmulcl 11627 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3 1z 11608 . 2 1 ∈ ℤ
41, 2, 3expcllem 13077 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2144  (class class class)co 6792  0cn0 11493  cz 11578  cexp 13066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-seq 13008  df-exp 13067
This theorem is referenced by:  zsqcl  13140  modexp  13205  climcndslem1  14787  iddvdsexp  15213  dvdsexp  15257  3dvds  15260  3dvdsOLD  15261  prmdvdsexp  15633  rpexp  15638  rpexp12i  15640  phiprmpw  15687  eulerthlem2  15693  fermltl  15695  prmdiv  15696  prmdiveq  15697  odzcllem  15703  odzdvds  15706  odzphi  15707  vfermltlALT  15713  powm2modprm  15714  pcneg  15784  pcprmpw  15793  prmpwdvds  15814  pockthlem  15815  dyaddisjlem  23582  aalioulem1  24306  aaliou3lem6  24322  muf  25086  dvdsppwf1o  25132  mersenne  25172  lgslem1  25242  lgsval2lem  25252  lgsvalmod  25261  lgsmod  25268  lgsdirprm  25276  lgsne0  25280  lgsqrlem1  25291  gausslemma2dlem7  25318  gausslemma2d  25319  lgseisenlem2  25321  lgseisenlem4  25323  m1lgs  25333  mdetlap  30232  oddpwdc  30750  dvdspw  31968  nn0prpwlem  32648  nn0prpw  32649  knoppndvlem2  32835  jm2.18  38074  jm2.22  38081  jm2.23  38082  jm2.20nn  38083  inductionexd  38972  etransclem3  40965  etransclem7  40969  etransclem10  40972  etransclem24  40986  etransclem27  40989  etransclem35  40997  2pwp1prm  42021  sfprmdvdsmersenne  42038  lighneallem4b  42044  lighneallem4  42045  proththd  42049  41prothprmlem2  42053  nnpw2evenALTV  42129  pw2m1lepw2m1  42828  nnpw2blenfzo  42893  dignn0fr  42913  digexp  42919  dignn0flhalflem1  42927
  Copyright terms: Public domain W3C validator