MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zetacvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zetacvg 24940
Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zetacvg.1 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
zetacvg.2 (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
zetacvg.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝑘𝑐-𝑆))
Assertion
Ref Expression
zetacvg (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem zetacvg
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11916 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11600 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 oveq1 6820 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
4 eqid 2760 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))
5 ovex 6841 . . . . 5 (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6444 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
76adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
8 zetacvg.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝑘𝑐-𝑆))
9 nncn 11220 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
109adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
11 nnne0 11245 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
1211adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
13 zetacvg.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
1413negcld 10571 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
1514adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -𝑆 ∈ ℂ)
1610, 12, 15cxpefd 24657 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑐-𝑆) = (exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘))))
178, 16eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘))))
1817fveq2d 6356 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
19 nnrp 12035 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
2019relogcld 24568 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
2120recnd 10260 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
22 mulcl 10212 . . . . . 6 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
2314, 21, 22syl2an 495 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
24 absef 15126 . . . . 5 ((-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
2523, 24syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
26 remul 14068 . . . . . . . 8 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
2714, 21, 26syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
2813renegd 14148 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℜ‘-𝑆) = -(ℜ‘𝑆))
2920rered 14163 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (ℜ‘(log‘𝑘)) = (log‘𝑘))
3028, 29oveqan12d 6832 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
3120reim0d 14164 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (ℑ‘(log‘𝑘)) = 0)
3231oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = ((ℑ‘-𝑆) · 0))
33 imcl 14050 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℝ)
3433recnd 10260 . . . . . . . . . . 11 (-𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℂ)
3514, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℂ)
3635mul01d 10427 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℑ‘-𝑆) · 0) = 0)
3732, 36sylan9eqr 2816 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = 0)
3830, 37oveq12d 6831 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))) = ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0))
3913recld 14133 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
4039renegcld 10649 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
4140recnd 10260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
42 mulcl 10212 . . . . . . . . 9 ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
4341, 21, 42syl2an 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
4443subid1d 10573 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
4527, 38, 443eqtrd 2798 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
4645fveq2d 6356 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
4741adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
4810, 12, 47cxpefd 24657 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
4946, 48eqtr4d 2797 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
5018, 25, 493eqtrd 2798 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
517, 50eqtr4d 2797 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
5210, 15cxpcld 24653 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑐-𝑆) ∈ ℂ)
538, 52eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
54 2rp 12030 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
55 1re 10231 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
56 resubcl 10537 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
5755, 39, 56sylancr 698 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
58 rpcxpcl 24621 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ) → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
5954, 57, 58sylancr 698 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
6059rpcnd 12067 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ)
61 zetacvg.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
62 recl 14049 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
6362recnd 10260 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
6413, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
6564addid2d 10429 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + (ℜ‘𝑆)) = (ℜ‘𝑆))
6661, 65breqtrrd 4832 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (0 + (ℜ‘𝑆)))
67 0re 10232 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
68 ltsubadd 10690 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
6955, 67, 68mp3an13 1564 . . . . . . . . 9 ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
7039, 69syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
7166, 70mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) < 0)
72 2re 11282 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
73 1lt2 11386 . . . . . . . . 9 1 < 2
74 cxplt 24639 . . . . . . . . 9 (((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) ∧ ((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
7572, 73, 74mpanl12 720 . . . . . . . 8 (((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
7657, 67, 75sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
7771, 76mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0))
7859rprege0d 12072 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))))
79 absid 14235 . . . . . . 7 (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
81 2cn 11283 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
82 cxp0 24615 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℂ → (2↑𝑐0) = 1)
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2↑𝑐0) = 1
8483eqcomi 2769 . . . . . . 7 1 = (2↑𝑐0)
8584a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 = (2↑𝑐0))
8677, 80, 853brtr4d 4836 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) < 1)
87 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
88 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))
89 ovex 6841 . . . . . . 7 ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) ∈ V
9087, 88, 89fvmpt 6444 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
9190adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
9260, 86, 91geolim 14800 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))))
93 seqex 12997 . . . . 5 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ V
94 ovex 6841 . . . . 5 (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) ∈ V
9593, 94breldm 5484 . . . 4 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
9692, 95syl 17 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
97 rpcxpcl 24621 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
9819, 40, 97syl2anr 496 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
9998rpred 12065 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
1007, 99eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) ∈ ℝ)
10198rpge0d 12069 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
102101, 7breqtrrd 4832 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
103 nnre 11219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
104103lep1d 11147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
10519reeflogd 24569 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) = 𝑘)
106 peano2nn 11224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
107106nnrpd 12063 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
108107reeflogd 24569 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝑘 + 1))) = (𝑘 + 1))
109104, 105, 1083brtr4d 4836 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1))))
110107relogcld 24568 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
111 efle 15047 . . . . . . . . . . . 12 (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
11220, 110, 111syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
113109, 112mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
114113adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
11520adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
116106adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
117116nnrpd 12063 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
118117relogcld 24568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
11939adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
12067a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
122 0lt1 10742 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 1)
124120, 121, 39, 123, 61lttrd 10390 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝑆))
125124adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (ℜ‘𝑆))
126 lemul2 11068 . . . . . . . . . 10 (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑆))) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
127115, 118, 119, 125, 126syl112anc 1481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
128114, 127mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
129 remulcl 10213 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
13039, 20, 129syl2an 495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
131 remulcl 10213 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
13239, 110, 131syl2an 495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
133130, 132lenegd 10798 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ↔ -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
134128, 133mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
135110recnd 10260 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
136 mulneg1 10658 . . . . . . . 8 (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
13764, 135, 136syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
138 mulneg1 10658 . . . . . . . 8 (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
13964, 21, 138syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
140134, 137, 1393brtr4d 4836 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
141 remulcl 10213 . . . . . . . 8 ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
14240, 110, 141syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
143 remulcl 10213 . . . . . . . 8 ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
14440, 20, 143syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
145 efle 15047 . . . . . . 7 (((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
146142, 144, 145syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
147140, 146mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
148 oveq1 6820 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
149 ovex 6841 . . . . . . . 8 ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
150148, 4, 149fvmpt 6444 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
151116, 150syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
152116nncnd 11228 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
153116nnne0d 11257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
154152, 153, 47cxpefd 24657 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
155151, 154eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
1567, 48eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
157147, 155, 1563brtr4d 4836 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
15857recnd 10260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
159158adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
160 nn0re 11493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
161160adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
162161recnd 10260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
163159, 162mulcomd 10253 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚) = (𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆))))
164163oveq2d 6829 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))))
16554a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
166165, 161, 159cxpmuld 24679 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))) = ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
167 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
168 cxpexp 24613 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
16981, 167, 168sylancr 698 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
170 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
17164adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
172 negsub 10521 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
173170, 171, 172sylancr 698 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
174173eqcomd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) = (1 + -(ℜ‘𝑆)))
175169, 174oveq12d 6831 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
176164, 166, 1753eqtrd 2798 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
17757adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
178165, 177, 162cxpmuld 24679 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚))
179 2nn 11377 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
180 nnexpcl 13067 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
181179, 180mpan 708 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
182181adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
183182nncnd 11228 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
184182nnne0d 11257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ≠ 0)
185 1cnd 10248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
18641adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
187183, 184, 185, 186cxpaddd 24662 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
188176, 178, 1873eqtr3d 2802 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
189 cxpexp 24613 . . . . . . 7 (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
19060, 189sylan 489 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
191183cxp1d 24651 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐1) = (2↑𝑚))
192191oveq1d 6828 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
193188, 190, 1923eqtr3d 2802 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
194179, 167, 180sylancr 698 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
195 oveq1 6820 . . . . . . . 8 (𝑛 = (2↑𝑚) → (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
196 ovex 6841 . . . . . . . 8 ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
197195, 4, 196fvmpt 6444 . . . . . . 7 ((2↑𝑚) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
198194, 197syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
199198oveq2d 6829 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
200193, 91, 1993eqtr4d 2804 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))))
201100, 102, 157, 200climcnds 14782 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
20296, 201mpbird 247 . 2 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ )
2031, 2, 51, 53, 202abscvgcvg 14750 1 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  +crp 12025  seqcseq 12995  cexp 13054  cre 14036  cim 14037  abscabs 14173  cli 14414  expce 14991  logclog 24500  𝑐ccxp 24501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-cxp 24503
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  24957
  Copyright terms: Public domain W3C validator