MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zdis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zdis 22840
Description: The integers are a discrete set in the topology on . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
zdis (𝐽t ℤ) = 𝒫 ℤ

Proof of Theorem zdis
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restsspw 16314 . 2 (𝐽t ℤ) ⊆ 𝒫 ℤ
2 elpwi 4312 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → 𝑥 ⊆ ℤ)
32sselda 3744 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℤ)
43zcnd 11695 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℂ)
5 cnxmet 22797 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
6 1rp 12049 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
7 rpxr 12053 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
9 recld2.1 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
109cnfldtopn 22806 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
1110blopn 22526 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽)
125, 8, 11mp3an13 1564 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽)
139cnfldtop 22808 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ Top
14 zex 11598 . . . . . . . 8 ℤ ∈ V
15 elrestr 16311 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ∈ V ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ))
1613, 14, 15mp3an12 1563 . . . . . . 7 ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽 → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ))
174, 12, 163syl 18 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ))
18 blcntr 22439 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
195, 6, 18mp3an13 1564 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
204, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
2120, 3elind 3941 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ))
224adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
23 inss2 3977 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ ℤ
24 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ))
2523, 24sseldi 3742 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
2625zcnd 11695 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
273adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2827, 25zsubcld 11699 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
2928zcnd 11695 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℂ)
30 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3130cnmetdval 22795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
3222, 26, 31syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
33 inss1 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1)
3433, 24sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
35 elbl2 22416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
365, 8, 35mpanl12 720 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
3722, 26, 36syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
3834, 37mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1)
3932, 38eqbrtrrd 4828 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) < 1)
40 nn0abscl 14271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑧) ∈ ℤ → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℕ0)
41 nn0lt10b 11651 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℕ0 → ((abs‘(𝑦𝑧)) < 1 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) = 0))
4228, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → ((abs‘(𝑦𝑧)) < 1 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) = 0))
4339, 42mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) = 0)
4429, 43abs00d 14404 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦𝑧) = 0)
4522, 26, 44subeq0d 10612 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 = 𝑧)
46 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦𝑥)
4745, 46eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧𝑥)
4847ex 449 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → (𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → 𝑧𝑥))
4948ssrdv 3750 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)
50 eleq2 2828 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)))
51 sseq1 3767 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → (𝑧𝑥 ↔ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥))
5250, 51anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → ((𝑦𝑧𝑧𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∧ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)))
5352rspcev 3449 . . . . . 6 ((((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∧ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)) → ∃𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
5417, 21, 49, 53syl12anc 1475 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
5554ralrimiva 3104 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
56 resttop 21186 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ∈ V) → (𝐽t ℤ) ∈ Top)
5713, 14, 56mp2an 710 . . . . 5 (𝐽t ℤ) ∈ Top
58 eltop2 21001 . . . . 5 ((𝐽t ℤ) ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝐽t ℤ) ↔ ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥)))
5957, 58ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐽t ℤ) ↔ ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
6055, 59sylibr 224 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → 𝑥 ∈ (𝐽t ℤ))
6160ssriv 3748 . 2 𝒫 ℤ ⊆ (𝐽t ℤ)
621, 61eqssi 3760 1 (𝐽t ℤ) = 𝒫 ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804  ccom 5270  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149  *cxr 10285   < clt 10286  cmin 10478  0cn0 11504  cz 11589  +crp 12045  abscabs 14193  t crest 16303  TopOpenctopn 16304  ∞Metcxmt 19953  ballcbl 19955  fldccnfld 19968  Topctop 20920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-fz 12540  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-rest 16305  df-topn 16306  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-xms 22346  df-ms 22347
This theorem is referenced by:  sszcld  22841
  Copyright terms: Public domain W3C validator