MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zbtwnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zbtwnre 11824
Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zbtwnre (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem zbtwnre
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmin 11822 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
2 zre 11419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
3 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
4 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
6 ltletr 10167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
75, 6syl3an1 1399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
873expa 1284 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
92, 8sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
10 zlem1lt 11467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
1110adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
129, 11sylibrd 249 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → 𝑥𝑦))
1312exp4b 631 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
1413com23 86 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ → (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
1514ralrimdv 2997 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
165ltnrd 10209 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1))
17 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
18 zlem1lt 11467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
1917, 18mpdan 703 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
2016, 19mtbird 314 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
2120ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
22 lenlt 10154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
235, 22sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
2423ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
26 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝐴𝑦𝐴 ≤ (𝑥 − 1)))
27 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑥𝑦𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
2826, 27imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝐴𝑦𝑥𝑦) ↔ (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
2928rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 − 1) ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
3130imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
3231adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
3325, 32sylbird 250 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (¬ (𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
3421, 33mt3d 140 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝑥 − 1) < 𝐴)
3534ex 449 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝐴))
3615, 35impbid 202 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
37 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
38 ltsubadd 10536 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 < (𝐴 + 1)))
3937, 38mp3an2 1452 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 < (𝐴 + 1)))
403, 39sylan 487 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 < (𝐴 + 1)))
4136, 40bitr3d 270 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
4241ancoms 468 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
4342anbi2d 740 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) ↔ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1))))
4443reubidva 3155 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1))))
451, 44mpbid 222 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  ∃!wreu 2943   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726
This theorem is referenced by:  rebtwnz  11825  qbtwnre  12068  dfceil2  12680
  Copyright terms: Public domain W3C validator