Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddablx Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The integers are an Abelian group under addition. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. Use zsubrg 20014 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
zaddablx.g 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}
Assertion
Ref Expression

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 11593 . . 3 ℤ ∈ V
2 addex 12033 . . 3 + ∈ V
3 zaddablx.g . . 3 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}
4 zaddcl 11624 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
5 zcn 11589 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6 zcn 11589 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7 zcn 11589 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
8 addass 10229 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
95, 6, 7, 8syl3an 1163 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10 0z 11595 . . 3 0 ∈ ℤ
115addid2d 10443 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12 znegcl 11619 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
13 zcn 11589 . . . . . 6 (-𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℂ)
14 addcom 10428 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
155, 13, 14syl2an 583 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
1612, 15mpdan 667 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
175negidd 10588 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
1816, 17eqtr3d 2807 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
191, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 18isgrpix 17657 . 2 𝐺 ∈ Grp
201, 2, 3grpbasex 16202 . 2 ℤ = (Base‘𝐺)
211, 2, 3grpplusgx 16203 . 2 + = (+g𝐺)
22 addcom 10428 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
235, 6, 22syl2an 583 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
2419, 20, 21, 23isabli 18414 1 𝐺 ∈ Abel
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {cpr 4319  ⟨cop 4323  (class class class)co 6796  ℂcc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  -cneg 10473  2c2 11276  ℤcz 11584  Abelcabl 18401 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-addf 10221 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-cmn 18402  df-abl 18403 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator