MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrub 12327
Description: By quantifying only over reals, we can specify any extended real upper bound for any set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrub ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem xrub
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4799 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝐵𝑧 < 𝐵))
2 breq1 4799 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦𝑧 < 𝑦))
32rexbidv 3182 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
41, 3imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
54cbvralv 3302 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
6 elxr 12135 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
7 pm2.27 42 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
9 pnfnlt 12147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
10 breq1 4799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
1110notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = +∞ → (¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ +∞ < 𝐵))
129, 11syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = +∞ → (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < 𝐵))
13 pm2.21 120 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 < 𝐵 → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
1412, 13syl6com 37 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
1514ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
1615a1dd 50 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = +∞ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
17 elxr 12135 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
18 peano2rem 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
19 breq1 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (𝐵 − 1) → (𝑧 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 1) < 𝐵))
20 breq1 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (𝐵 − 1) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐵 − 1) < 𝑦))
2120rexbidv 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (𝐵 − 1) → (∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2219, 21imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝐵 − 1) → ((𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
2322rspcv 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 − 1) ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
2524adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
26 ltm1 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) < 𝐵)
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2826, 27syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ → (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2928adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
3018ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
31 mnflt 12142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝐵 − 1))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → -∞ < (𝐵 − 1))
33 rexr 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 − 1) ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
35 ssel2 3731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
3635adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
37 mnfxr 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ ∈ ℝ*
38 xrlttr 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((-∞ < (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
3937, 38mp3an1 1552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 − 1) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((-∞ < (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
4034, 36, 39syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → ((-∞ < (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
4132, 40mpand 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐵 − 1) < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
4241reximdva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
4325, 29, 423syld 60 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
4443a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
45 1re 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
46 breq1 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 1 → (𝑧 < 𝐵 ↔ 1 < 𝐵))
47 breq1 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 1 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 1 < 𝑦))
4847rexbidv 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 1 → (∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
4946, 48imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 1 → ((𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦)))
5049rspcv 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦)))
5145, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
52 ltpnf 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
5345, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < +∞
54 breq2 4800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 = +∞ → (1 < 𝐵 ↔ 1 < +∞))
5553, 54mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 = +∞ → 1 < 𝐵)
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
5755, 56syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = +∞ → ((1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
58 mnflt 12142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
5945, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ < 1
60 rexr 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
6145, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ*
62 xrlttr 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 1 ∧ 1 < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
6337, 61, 62mp3an12 1555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ* → ((-∞ < 1 ∧ 1 < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
6459, 63mpani 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ* → (1 < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
6535, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → (1 < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
6665reximdva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑦𝐴 1 < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
6757, 66sylan9r 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = +∞) → ((1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
6851, 67syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = +∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
6968a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = +∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
70 xrltnr 12138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
7137, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ -∞ < -∞
72 breq2 4800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
7371, 72mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐵)
7473adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = -∞) → ¬ -∞ < 𝐵)
7574pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = -∞) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
7675a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = -∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
7744, 69, 763jaodan 1535 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
7817, 77sylan2b 493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
7978imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
80 breq1 4799 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
81 breq1 4799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ -∞ < 𝑦))
8281rexbidv 3182 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -∞ → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
8380, 82imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -∞ → ((𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
8479, 83syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
8584a1dd 50 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = -∞ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
868, 16, 853jaod 1533 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞) → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
876, 86syl5bi 232 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
8887com23 86 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
8988ralimdv2 3091 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
9089ex 449 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
915, 90syl5bi 232 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
9291pm2.43d 53 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
93 rexr 10269 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
9493imim1i 63 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
9594ralimi2 3079 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
9692, 95impbid1 215 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3o 1071   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  wrex 3043  wss 3707   class class class wbr 4796  (class class class)co 6805  cr 10119  1c1 10121  +∞cpnf 10255  -∞cmnf 10256  *cxr 10257   < clt 10258  cmin 10450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453
This theorem is referenced by:  supxr  12328
  Copyright terms: Public domain W3C validator