MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrtgioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrtgioo 22831
Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrtgioo.1 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
Assertion
Ref Expression
xrtgioo (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem xrtgioo
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letop 21233 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
2 ioof 12485 . . . . . . . . . . 11 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 6207 . . . . . . . . . . 11 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 iooordt 21244 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
65rgen2w 3064 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
7 ffnov 6931 . . . . . . . . . 10 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )))
84, 6, 7mpbir2an 993 . . . . . . . . 9 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ )
9 frn 6215 . . . . . . . . 9 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) → ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ ))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
11 tgss 20995 . . . . . . . 8 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )) → (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ )))
121, 10, 11mp2an 710 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ ))
13 tgtop 21000 . . . . . . . 8 ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ ))
141, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ )
1512, 14sseqtri 3779 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
1615sseli 3741 . . . . 5 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
17 retopon 22789 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
18 toponss 20954 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝑥 ⊆ ℝ)
1917, 18mpan 708 . . . . 5 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ⊆ ℝ)
20 reordt 21245 . . . . . 6 ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )
21 restopn2 21204 . . . . . 6 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ)))
221, 20, 21mp2an 710 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ))
2316, 19, 22sylanbrc 701 . . . 4 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
2423ssriv 3749 . . 3 (topGen‘ran (,)) ⊆ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
25 eqid 2761 . . . . . . 7 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
26 eqid 2761 . . . . . . 7 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
27 eqid 2761 . . . . . . 7 ran (,) = ran (,)
2825, 26, 27leordtval 21240 . . . . . 6 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
2928oveq1i 6825 . . . . 5 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
3028, 1eqeltrri 2837 . . . . . . 7 (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
31 tgclb 20997 . . . . . . 7 (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
3230, 31mpbir 221 . . . . . 6 ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
33 reex 10240 . . . . . 6 ℝ ∈ V
34 tgrest 21186 . . . . . 6 ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ))
3532, 33, 34mp2an 710 . . . . 5 (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
3629, 35eqtr4i 2786 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ))
37 retopbas 22786 . . . . 5 ran (,) ∈ TopBases
38 elrest 16311 . . . . . . . 8 ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ)))
3932, 33, 38mp2an 710 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ))
40 elun 3897 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↔ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)))
41 elun 3897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ↔ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
42 vex 3344 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑣 ∈ V
43 eqid 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
4443elrnmpt 5528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞)))
4542, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞))
46 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47 pnfxr 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 +∞ ∈ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
49 rexr 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
5049adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
51 df-ioc 12394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑐𝑐𝑏)})
5251elixx3g 12402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
5352baib 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
5446, 48, 50, 53syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
55 pnfge 12178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ +∞)
5756biantrud 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
58 ltpnf 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
5958adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 < +∞)
6059biantrud 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6154, 57, 603bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6261pm5.32da 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞))))
63 elin 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
64 ancom 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)))
6563, 64bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)))
66 3anass 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6762, 65, 663bitr4g 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
68 elioo2 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6947, 68mpan2 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
7067, 69bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)))
7170eqrdv 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) = (𝑥(,)+∞))
72 ioorebas 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥(,)+∞) ∈ ran (,)
7371, 72syl6eqel 2848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
74 ineq1 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ))
7574eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
7673, 75syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
7776rexlimiv 3166 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
7845, 77sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
79 eqid 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
8079elrnmpt 5528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥)))
8142, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥))
82 mnfxr 10309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 -∞ ∈ ℝ*
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
84 df-ico 12395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑐𝑐 < 𝑏)})
8584elixx3g 12402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
8685baib 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
8783, 46, 50, 86syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
88 mnfle 12183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑦)
8950, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝑦)
9089biantrurd 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
91 mnflt 12171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
9291adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → -∞ < 𝑦)
9392biantrurd 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9487, 90, 933bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9594pm5.32da 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥))))
96 elin 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
97 ancom 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)))
9896, 97bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)))
99 3anass 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
10095, 98, 993bitr4g 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
101 elioo2 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
10282, 101mpan 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
103100, 102bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥)))
104103eqrdv 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝑥))
105 ioorebas 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝑥) ∈ ran (,)
106104, 105syl6eqel 2848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
107 ineq1 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ))
108107eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
109106, 108syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
110109rexlimiv 3166 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
11181, 110sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
11278, 111jaoi 393 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
11341, 112sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
114 elssuni 4620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ran (,))
115 unirnioo 12487 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ = ran (,)
116114, 115syl6sseqr 3794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
117 df-ss 3730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ⊆ ℝ ↔ (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
118116, 117sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
119 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ∈ ran (,))
120118, 119eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
121113, 120jaoi 393 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
12240, 121sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
123 eleq1 2828 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
124122, 123syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,)))
125124rexlimiv 3166 . . . . . . 7 (∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
12639, 125sylbi 207 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
127126ssriv 3749 . . . . 5 (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)
128 tgss 20995 . . . . 5 ((ran (,) ∈ TopBases ∧ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,)))
12937, 127, 128mp2an 710 . . . 4 (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,))
13036, 129eqsstri 3777 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ⊆ (topGen‘ran (,))
13124, 130eqssi 3761 . 2 (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
132 xrtgioo.1 . 2 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
133131, 132eqtr4i 2786 1 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wral 3051  wrex 3052  Vcvv 3341  cun 3714  cin 3715  wss 3716  𝒫 cpw 4303   cuni 4589   class class class wbr 4805  cmpt 4882   × cxp 5265  ran crn 5268   Fn wfn 6045  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  cr 10148  +∞cpnf 10284  -∞cmnf 10285  *cxr 10286   < clt 10287  cle 10288  (,)cioo 12389  (,]cioc 12390  [,)cico 12391  t crest 16304  topGenctg 16321  ordTopcordt 16382  Topctop 20921  TopOnctopon 20938  TopBasesctb 20972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-q 12003  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-rest 16306  df-topgen 16327  df-ordt 16384  df-ps 17422  df-tsr 17423  df-top 20922  df-topon 20939  df-bases 20973
This theorem is referenced by:  xrrest  22832  xrsmopn  22837  xrge0tsms  22859  metdcn2  22864  xrge0tsmsd  30116  xrtgcntopre  40226  xrtgioo2  40321
  Copyright terms: Public domain W3C validator