MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsupsslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsupsslem 12175
Description: Lemma for xrsupss 12177. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupsslem ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrsupsslem
StepHypRef Expression
1 raleq 3168 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦))
2 rexeq 3169 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
32imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
43ralbidv 3015 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
51, 4anbi12d 747 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))))
65rexbidv 3081 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))))
7 sup3 11018 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8 rexr 10123 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
98anim1i 591 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
109reximi2 3039 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
117, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
12 elxr 11988 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞))
13 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
14 pnfnlt 12000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑥)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = +∞) → ¬ +∞ < 𝑥)
16 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = +∞ → (𝑦 < 𝑥 ↔ +∞ < 𝑥))
1716notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = +∞ → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ +∞ < 𝑥))
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = +∞) → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ +∞ < 𝑥))
1915, 18mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = +∞) → ¬ 𝑦 < 𝑥)
2019pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = +∞) → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
2120ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 = +∞ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2221ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → (𝑦 = +∞ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
23 ssel 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℝ))
24 mnflt 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ℝ → -∞ < 𝑧)
2523, 24syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴 → -∞ < 𝑧))
2625ancld 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴 → (𝑧𝐴 ∧ -∞ < 𝑧)))
2726eximdv 1886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∃𝑧(𝑧𝐴 ∧ -∞ < 𝑧)))
28 n0 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
29 df-rex 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐴 ∧ -∞ < 𝑧))
3027, 28, 293imtr4g 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧))
3130imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧)
3231a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧))
3332ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = -∞) → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧))
34 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = -∞ → (𝑦 < 𝑥 ↔ -∞ < 𝑥))
35 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = -∞ → (𝑦 < 𝑧 ↔ -∞ < 𝑧))
3635rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = -∞ → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧))
3734, 36imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = -∞ → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧)))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = -∞) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧)))
3933, 38mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = -∞) → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
4039ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = -∞ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → (𝑦 = -∞ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4213, 22, 413jaod 1432 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ((𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞) → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4312, 42syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4443ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
4544ralimdv2 2990 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4645anim2d 588 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
4746reximdva 3046 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
48473adant3 1101 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
4911, 48mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
50493expa 1284 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
51 ralnex 3021 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
52 rexnal 3024 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
53 ssel2 3631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
54 letric 10175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥𝑥𝑦))
5554ord 391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦𝑥𝑥𝑦))
5653, 55sylan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦𝑥𝑥𝑦))
5756an32s 863 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦𝑥𝑥𝑦))
5857reximdva 3046 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5952, 58syl5bir 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6059ralimdva 2991 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6160imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
6251, 61sylan2br 492 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
63 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝑦𝑥𝑧))
6463cbvrexv 3202 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧)
6564ralbii 3009 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧)
6662, 65sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧)
67 pnfxr 10130 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
68 ssel 3630 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
69 rexr 10123 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
70 pnfnlt 12000 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ +∞ < 𝑦)
7268, 71syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴 → ¬ +∞ < 𝑦))
7372ralrimiv 2994 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦)
7473adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦)
75 peano2re 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
76 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝑧 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧))
7776rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧))
7877rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → ∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧)
7978adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ)) → ∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧)
8079ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧)
8175, 80sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧)
82 ssel2 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
83 ltp1 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
8575ancli 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ))
86 ltletr 10167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
87863expa 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
8885, 87sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
8984, 88mpand 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
9089ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
9182, 90sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
9291an32s 863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
9392reximdva 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
9493adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
9581, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
9695exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
9796a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
9897com4r 94 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
99 xrltnr 11991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (+∞ ∈ ℝ* → ¬ +∞ < +∞)
10067, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ +∞ < +∞
101 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = +∞ → (𝑦 < +∞ ↔ +∞ < +∞))
102100, 101mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = +∞ → ¬ 𝑦 < +∞)
103102pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = +∞ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
1041032a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = +∞ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
105 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
106 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑧))
107106rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 0 ≤ 𝑧))
108107rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → ∃𝑧𝐴 0 ≤ 𝑧)
109105, 108mpan 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → ∃𝑧𝐴 0 ≤ 𝑧)
11082, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → -∞ < 𝑧)
111110a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → (0 ≤ 𝑧 → -∞ < 𝑧))
112111reximdva 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑧𝐴 0 ≤ 𝑧 → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧))
113109, 112mpan9 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧)
114113, 36syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = -∞ → ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
115114a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = -∞ → ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
116115expd 451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = -∞ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
11798, 104, 1163jaoi 1431 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
11812, 117sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
119118com13 88 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
120119imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
121120ralrimiv 2994 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
12274, 121jca 553 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
123 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ +∞ < 𝑦))
124123notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = +∞ → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ +∞ < 𝑦))
125124ralbidv 3015 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = +∞ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦))
126 breq2 4689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = +∞ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < +∞))
127126imbi1d 330 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = +∞ → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
128127ralbidv 3015 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = +∞ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
129125, 128anbi12d 747 . . . . . . . . 9 (𝑥 = +∞ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
130129rspcev 3340 . . . . . . . 8 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
13167, 122, 130sylancr 696 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
13266, 131syldan 486 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
133132adantlr 751 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
13450, 133pm2.61dan 849 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
135 mnfxr 10134 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
136 ral0 4109 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦
137 nltmnf 12001 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
138137pm2.21d 118 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
139138rgen 2951 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)
140136, 139pm3.2i 470 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
141 breq1 4688 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ -∞ < 𝑦))
142141notbid 307 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -∞ → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
143142ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑥 = -∞ → (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦))
144 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -∞ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < -∞))
145144imbi1d 330 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -∞ → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
146145ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑥 = -∞ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
147143, 146anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝑥 = -∞ → ((∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))))
148147rspcev 3340 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
149135, 140, 148mp2an 708 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
150149a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
1516, 134, 150pm2.61ne 2908 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
152151adantl 481 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
153 ssel 3630 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ*))
154153, 70syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴 → ¬ +∞ < 𝑦))
155154ralrimiv 2994 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦)
156 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧𝑦 < +∞))
157156rspcev 3340 . . . . . 6 ((+∞ ∈ 𝐴𝑦 < +∞) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
158157ex 449 . . . . 5 (+∞ ∈ 𝐴 → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
159158ralrimivw 2996 . . . 4 (+∞ ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
160155, 159anim12i 589 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
16167, 160, 130sylancr 696 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
162152, 161jaodan 843 1 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1053  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  xrsupss  12177
  Copyright terms: Public domain W3C validator