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Theorem xrsdsreclblem 19840
Description: Lemma for xrsdsreclb 19841. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsdsreclblem (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xrsdsreclblem
StepHypRef Expression
1 necom 2876 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 xrleltne 12016 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
3 mnfxr 10134 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
5 simpl1 1084 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 simpl2 1085 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 pnfnre 10119 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ ∉ ℝ
87neli 2928 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ +∞ ∈ ℝ
9 mnfle 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
105, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝐴)
11 simpl3 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝐵)
124, 5, 6, 10, 11xrlelttrd 12029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < 𝐵)
13 xrltne 12032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
144, 6, 12, 13syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ -∞)
15 xaddpnf1 12095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
166, 14, 15syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
1716eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 +𝑒 +∞) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
188, 17mtbiri 316 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ¬ (𝐵 +𝑒 +∞) ∈ ℝ)
19 ngtmnft 12035 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
205, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
21 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ)
22 xnegeq 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
23 xnegmnf 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -𝑒-∞ = +∞
2422, 23syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
2524oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = -∞ → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵 +𝑒 +∞))
2625eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (𝐵 +𝑒 +∞) ∈ ℝ))
2721, 26syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ → (𝐵 +𝑒 +∞) ∈ ℝ))
2820, 27sylbird 250 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (¬ -∞ < 𝐴 → (𝐵 +𝑒 +∞) ∈ ℝ))
2918, 28mt3d 140 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < 𝐴)
30 xrre2 12039 . . . . . . . . . . 11 (((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
314, 5, 6, 29, 11, 30syl32anc 1374 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
32 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
345xnegcld 12168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
35 xnegpnf 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -𝑒+∞ = -∞
36 pnfge 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
376, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ +∞)
385, 6, 33, 11, 37xrltletrd 12030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 < +∞)
39 xltnegi 12085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 < +∞) → -𝑒+∞ < -𝑒𝐴)
405, 33, 38, 39syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -𝑒+∞ < -𝑒𝐴)
4135, 40syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < -𝑒𝐴)
42 xrltne 12032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -𝑒𝐴) → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
434, 34, 41, 42syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
44 xaddpnf2 12096 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = +∞)
4534, 43, 44syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = +∞)
4645eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ((+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
478, 46mtbiri 316 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ¬ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ)
48 nltpnft 12033 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
496, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
50 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴))
5150eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = +∞ → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ))
5221, 51syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 = +∞ → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ))
5349, 52sylbird 250 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < +∞ → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ))
5447, 53mt3d 140 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 < +∞)
55 xrre2 12039 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
565, 6, 33, 11, 54, 55syl32anc 1374 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5731, 56jca 553 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
5857ex 449 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
59583expia 1286 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
60593adant3 1101 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
612, 60sylbird 250 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵𝐴 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
621, 61syl5bi 232 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
63623exp 1283 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))))
6463com34 91 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))))
65643imp1 1302 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  -𝑒cxne 11981   +𝑒 cxad 11982  distcds 15997  *𝑠cxrs 16207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-xneg 11984  df-xadd 11985
This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  19841
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