Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrsclat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsclat 30020
Description: The extended real numbers form a complete lattice. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrsclat *𝑠 ∈ CLat

Proof of Theorem xrsclat
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrstos 30019 . . 3 *𝑠 ∈ Toset
2 tospos 29998 . . 3 (ℝ*𝑠 ∈ Toset → ℝ*𝑠 ∈ Poset)
31, 2ax-mp 5 . 2 *𝑠 ∈ Poset
4 xrsbas 19977 . . . . . 6 * = (Base‘ℝ*𝑠)
5 xrsle 19981 . . . . . 6 ≤ = (le‘ℝ*𝑠)
6 eqid 2771 . . . . . 6 (lub‘ℝ*𝑠) = (lub‘ℝ*𝑠)
7 biid 251 . . . . . 6 ((∀𝑏𝑥 𝑏𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑐𝑎𝑐)) ↔ (∀𝑏𝑥 𝑏𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑐𝑎𝑐)))
84, 5, 6, 7, 2lubdm 17187 . . . . 5 (ℝ*𝑠 ∈ Toset → dom (lub‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑐𝑎𝑐))})
91, 8ax-mp 5 . . . 4 dom (lub‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑐𝑎𝑐))}
10 rabid2 3267 . . . . 5 (𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑐𝑎𝑐))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ*∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑐𝑎𝑐)))
11 selpw 4305 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ*𝑥 ⊆ ℝ*)
12 xrltso 12179 . . . . . . . . 9 < Or ℝ*
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
14 xrsupss 12344 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝑥 𝑏 < 𝑑)))
1513, 14supeu 8520 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝑥 𝑏 < 𝑑)))
16 xrslt 30016 . . . . . . . . 9 < = (lt‘ℝ*𝑠)
171a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ ℝ* → ℝ*𝑠 ∈ Toset)
18 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ ℝ*𝑥 ⊆ ℝ*)
194, 16, 17, 18, 5toslublem 30007 . . . . . . . 8 ((𝑥 ⊆ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*) → ((∀𝑏𝑥 𝑏𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑐𝑎𝑐)) ↔ (∀𝑏𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝑥 𝑏 < 𝑑))))
2019reubidva 3274 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ ℝ* → (∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑐𝑎𝑐)) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝑥 𝑏 < 𝑑))))
2115, 20mpbird 247 . . . . . 6 (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑐𝑎𝑐)))
2211, 21sylbi 207 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑐𝑎𝑐)))
2310, 22mprgbir 3076 . . . 4 𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑏𝑐𝑎𝑐))}
249, 23eqtr4i 2796 . . 3 dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*
25 eqid 2771 . . . . . 6 (glb‘ℝ*𝑠) = (glb‘ℝ*𝑠)
26 biid 251 . . . . . 6 ((∀𝑏𝑥 𝑎𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑐𝑏𝑐𝑎)) ↔ (∀𝑏𝑥 𝑎𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑐𝑏𝑐𝑎)))
274, 5, 25, 26, 2glbdm 17200 . . . . 5 (ℝ*𝑠 ∈ Toset → dom (glb‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑎𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑐𝑏𝑐𝑎))})
281, 27ax-mp 5 . . . 4 dom (glb‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑎𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑐𝑏𝑐𝑎))}
29 rabid2 3267 . . . . 5 (𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑎𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑐𝑏𝑐𝑎))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ*∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑎𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑐𝑏𝑐𝑎)))
30 cnvso 5817 . . . . . . . . . 10 ( < Or ℝ* < Or ℝ*)
3112, 30mpbi 220 . . . . . . . . 9 < Or ℝ*
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ ℝ* < Or ℝ*)
33 xrinfmss2 12346 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝑥 𝑏 < 𝑑)))
3432, 33supeu 8520 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝑥 𝑏 < 𝑑)))
354, 16, 17, 18, 5tosglblem 30009 . . . . . . . 8 ((𝑥 ⊆ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*) → ((∀𝑏𝑥 𝑎𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑐𝑏𝑐𝑎)) ↔ (∀𝑏𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝑥 𝑏 < 𝑑))))
3635reubidva 3274 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ ℝ* → (∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑎𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑐𝑏𝑐𝑎)) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝑥 𝑏 < 𝑑))))
3734, 36mpbird 247 . . . . . 6 (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑎𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑐𝑏𝑐𝑎)))
3811, 37sylbi 207 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑎𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑐𝑏𝑐𝑎)))
3929, 38mprgbir 3076 . . . 4 𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑎𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏𝑥 𝑐𝑏𝑐𝑎))}
4028, 39eqtr4i 2796 . . 3 dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*
4124, 40pm3.2i 456 . 2 (dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ* ∧ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*)
424, 6, 25isclat 17317 . 2 (ℝ*𝑠 ∈ CLat ↔ (ℝ*𝑠 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ* ∧ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*)))
433, 41, 42mpbir2an 690 1 *𝑠 ∈ CLat
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  ∃!wreu 3063  {crab 3065  wss 3723  𝒫 cpw 4298   class class class wbr 4787   Or wor 5170  ccnv 5249  dom cdm 5250  cfv 6030  *cxr 10279   < clt 10280  cle 10281  *𝑠cxrs 16368  Posetcpo 17148  lubclub 17150  glbcglb 17151  Tosetctos 17241  CLatccla 17315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-xrs 16370  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-toset 17242  df-clat 17316
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator