MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrs1cmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrs1cmn 20008
Description: The extended real numbers restricted to * ∖ {-∞} form a commutative monoid. They are not a group because 1 + +∞ = 2 + +∞ even though 1 ≠ 2. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
xrs1mnd.1 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
Assertion
Ref Expression
xrs1cmn 𝑅 ∈ CMnd

Proof of Theorem xrs1cmn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrs1mnd.1 . . 3 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
21xrs1mnd 20006 . 2 𝑅 ∈ Mnd
3 eldifi 3875 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4 eldifi 3875 . . . 4 (𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5 xaddcom 12284 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥))
63, 4, 5syl2an 495 . . 3 ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥))
76rgen2a 3115 . 2 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})∀𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})(𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥)
8 difss 3880 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
9 xrsbas 19984 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
101, 9ressbas2 16153 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
118, 10ax-mp 5 . . 3 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
12 xrex 12042 . . . . 5 * ∈ V
13 difexg 4960 . . . . 5 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
15 xrsadd 19985 . . . . 5 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
161, 15ressplusg 16215 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g𝑅))
1714, 16ax-mp 5 . . 3 +𝑒 = (+g𝑅)
1811, 17iscmn 18420 . 2 (𝑅 ∈ CMnd ↔ (𝑅 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})∀𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})(𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥)))
192, 7, 18mpbir2an 993 1 𝑅 ∈ CMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6814  -∞cmnf 10284  *cxr 10285   +𝑒 cxad 12157  Basecbs 16079  s cress 16080  +gcplusg 16163  *𝑠cxrs 16382  Mndcmnd 17515  CMndccmn 18413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-xadd 12160  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-xrs 16384  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-cmn 18415
This theorem is referenced by:  xrge0cmn  20010  imasdsf1olem  22399  gsumge0cl  41109
  Copyright terms: Public domain W3C validator