Theorem xrs0 30005

Description: The zero of the extended real numbers. The extended real is not a group, as its addition is not associative. (cf. xaddass 12292 and df-xrs 16384), however it has a zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrs0	⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)

Proof of Theorem xrs0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsbas 19984	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠))
3		xrsadd 19985	. . . 4 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠))
5		0xr 10298	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
7		xaddid2 12286	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
8	7	adantl 473	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
9		xaddid1 12285	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
10	9	adantl 473	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
11	2, 4, 6, 8, 10	grpidd 17489	. 2 ⊢ (⊤ → 0 = (0g‘ℝ*𝑠))
12	11	trud 1642	1 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)

Syntax hints:   = wceq 1632  ⊤wtru 1633   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  ℝ^*cxr 10285   +_𝑒 cxad 12157  Basecbs 16079  +_gcplusg 16163  0_gc0g 16322  ℝ^*_𝑠cxrs 16382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-xadd 12160  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-0g 16324  df-xrs 16384

This theorem is referenced by:  xrsinvgval  30007  xrsmulgzz  30008  xrge0mulgnn0  30019  pnfinf  30067  xrnarchi  30068