Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrrebnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrrebnd 12192
 Description: An extended real is real iff it is strictly bounded by infinities. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrrebnd (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))

Proof of Theorem xrrebnd
StepHypRef Expression
1 mnflt 12150 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
2 ltpnf 12147 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
31, 2jca 555 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞))
4 nltpnft 12188 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
5 ngtmnft 12190 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
64, 5orbi12d 748 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (¬ 𝐴 < +∞ ∨ ¬ -∞ < 𝐴)))
7 ianor 510 . . . . . 6 (¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞) ↔ (¬ -∞ < 𝐴 ∨ ¬ 𝐴 < +∞))
8 orcom 401 . . . . . 6 ((¬ -∞ < 𝐴 ∨ ¬ 𝐴 < +∞) ↔ (¬ 𝐴 < +∞ ∨ ¬ -∞ < 𝐴))
97, 8bitr2i 265 . . . . 5 ((¬ 𝐴 < +∞ ∨ ¬ -∞ < 𝐴) ↔ ¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞))
106, 9syl6bb 276 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
1110con2bid 343 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((-∞ < 𝐴𝐴 < +∞) ↔ ¬ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
12 elxr 12143 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
13 3orass 1075 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
14 orcom 401 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)) ↔ ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 ∈ ℝ))
1513, 14bitri 264 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 ∈ ℝ))
1612, 15sylbb 209 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 ∈ ℝ))
1716ord 391 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ))
1811, 17sylbid 230 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ((-∞ < 𝐴𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ))
193, 18impbid2 216 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1071   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  ℝcr 10127  +∞cpnf 10263  -∞cmnf 10264  ℝ*cxr 10265   < clt 10266 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272 This theorem is referenced by:  xrre  12193  xrre2  12194  xrre3  12195  supxrre1  12353  elioc2  12429  elico2  12430  elicc2  12431  xblpnfps  22401  xblpnf  22402  isnghm3  22730  ovoliun  23473  ovolicopnf  23492  voliunlem3  23520  volsup  23524  itg2seq  23708  nmblore  27950  nmopre  29038  supxrgere  40047  supxrgelem  40051  supxrge  40052  suplesup  40053  infrpge  40065  limsupre  40376
 Copyright terms: Public domain W3C validator