Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrpnf 40183
 Description: An extended real is plus infinity iff it's larger than all real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
xrpnf (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem xrpnf
StepHypRef Expression
1 rexr 10248 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
21adantl 473 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
4 pnfxr 10255 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → +∞ ∈ ℝ*)
63, 5eqeltrd 2827 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
76adantr 472 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 ltpnf 12118 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
98adantl 473 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 < +∞)
10 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = +∞)
119, 10breqtrrd 4820 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 < 𝐴)
122, 7, 11xrltled 39954 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥𝐴)
1312ralrimiva 3092 . . 3 (𝐴 = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴)
1413adantl 473 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴)
15 simpll 807 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16 0red 10204 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴 → 0 ∈ ℝ)
17 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴 → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴)
18 breq1 4795 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐴 ↔ 0 ≤ 𝐴))
1918rspcva 3435 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
2016, 17, 19syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴 → 0 ≤ 𝐴)
2120adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴𝐴 = -∞) → 0 ≤ 𝐴)
22 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
2321, 22breqtrd 4818 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴𝐴 = -∞) → 0 ≤ -∞)
2423adantll 752 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ -∞)
25 mnflt0 12123 . . . . . . . . . 10 -∞ < 0
26 mnfxr 10259 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
27 0xr 10249 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
28 xrltnle 10268 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
2926, 27, 28mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
3025, 29mpbi 220 . . . . . . . . 9 ¬ 0 ≤ -∞
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → ¬ 0 ≤ -∞)
3224, 31pm2.65da 601 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) → ¬ 𝐴 = -∞)
3332neqned 2927 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
3433adantr 472 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
35 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
364a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
37 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < +∞) → 𝐴 < +∞)
3835, 36, 37xrltned 40040 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
3938adantlr 753 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
4015, 34, 39xrred 40048 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
41 peano2re 10372 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
4241adantl 473 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
43 simpl 474 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴𝐴 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴)
44 breq1 4795 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 + 1) → (𝑥𝐴 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
4544rspcva 3435 . . . . . . 7 (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
4642, 43, 45syl2anc 696 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
47 ltp1 11024 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
48 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
4948, 41ltnled 10347 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (𝐴 + 1) ↔ ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
5047, 49mpbid 222 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
5150adantl 473 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
5246, 51pm2.65da 601 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5352ad2antlr 765 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5440, 53pm2.65da 601 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) → ¬ 𝐴 < +∞)
55 nltpnft 12159 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
5655adantr 472 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
5754, 56mpbird 247 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) → 𝐴 = +∞)
5814, 57impbida 913 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  ∀wral 3038   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  ℝcr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102  +∞cpnf 10234  -∞cmnf 10235  ℝ*cxr 10236   < clt 10237   ≤ cle 10238 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432 This theorem is referenced by:  meaiuninc3v  41173
 Copyright terms: Public domain W3C validator