Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrnarchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrnarchi 30078
Description: The completed real line is not Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrnarchi ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi

Proof of Theorem xrnarchi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 10241 . . . 4 1 ∈ ℝ
21rexri 10299 . . 3 1 ∈ ℝ*
3 pnfxr 10294 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
4 1rp 12039 . . . 4 1 ∈ ℝ+
5 pnfinf 30077 . . . 4 (1 ∈ ℝ+ → 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)
64, 5ax-mp 5 . . 3 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞
7 breq1 4789 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
8 breq2 4790 . . . 4 (𝑦 = +∞ → (1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞))
97, 8rspc2ev 3474 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
102, 3, 6, 9mp3an 1572 . 2 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦
11 rexnal 3143 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
12 dfrex2 3144 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
1312rexbii 3189 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
14 xrsex 19976 . . . . 5 *𝑠 ∈ V
15 xrsbas 19977 . . . . . 6 * = (Base‘ℝ*𝑠)
16 xrs0 30015 . . . . . 6 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
17 eqid 2771 . . . . . 6 (⋘‘ℝ*𝑠) = (⋘‘ℝ*𝑠)
1815, 16, 17isarchi 30076 . . . . 5 (ℝ*𝑠 ∈ V → (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
1914, 18ax-mp 5 . . . 4 (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
2019notbii 309 . . 3 (¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
2111, 13, 203bitr4i 292 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi)
2210, 21mpbi 220 1 ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351   class class class wbr 4786  cfv 6031  0cc0 10138  1c1 10139  +∞cpnf 10273  *cxr 10275  +crp 12035  *𝑠cxrs 16368  cinftm 30070  Archicarchi 30071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-fz 12534  df-seq 13009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-0g 16310  df-xrs 16370  df-plt 17166  df-minusg 17634  df-mulg 17749  df-inftm 30072  df-archi 30073
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator