Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrmulc1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmulc1cn 30317
Description: The operation multiplying an extended real number by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrmulc1cn.k 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
xrmulc1cn.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrmulc1cn.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
xrmulc1cn (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrmulc1cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 17441 . . . 4 ≤ ∈ TosetRel
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ≤ ∈ TosetRel )
3 simpr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4 xrmulc1cn.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
54adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
65rpxrd 12075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
73, 6xmulcld 12336 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
87ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
9 simpr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
104adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1110rpred 12074 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ)
1210rpne0d 12079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≠ 0)
13 xreceu 29971 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
149, 11, 12, 13syl3anc 1474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
15 eqcom 2776 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦)
16 simpr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
176adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18 xmulcom 12300 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
1916, 17, 18syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
2019eqeq1d 2771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦 ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
2115, 20syl5bb 272 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
2221reubidva 3272 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
2314, 22mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
2423ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
25 xrmulc1cn.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
2625f1ompt 6523 . . . . 5 (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ* ↔ (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶)))
278, 24, 26sylanbrc 698 . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*)
28 simplr 806 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
29 simpr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
304ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
31 xlemul1 12324 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
3228, 29, 30, 31syl3anc 1474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
33 ovex 6821 . . . . . . . . 9 (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V
3425fvmpt2 6432 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V) → (𝐹𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
3528, 33, 34sylancl 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
36 oveq1 6798 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37 ovex 6821 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V
3836, 25, 37fvmpt 6423 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐹𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
3938adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
4035, 39breq12d 4796 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
4132, 40bitr4d 271 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
4241ralrimiva 3113 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
4342ralrimiva 3113 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
44 df-isom 6039 . . . 4 (𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))))
4527, 43, 44sylanbrc 698 . . 3 (𝜑𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*))
46 ledm 17438 . . . 4 * = dom ≤
4746, 46ordthmeolem 21831 . . 3 (( ≤ ∈ TosetRel ∧ ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
482, 2, 45, 47syl3anc 1474 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
49 xrmulc1cn.k . . 3 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
5049, 49oveq12i 6803 . 2 (𝐽 Cn 𝐽) = ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ ))
5148, 50syl6eleqr 2859 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  wne 2941  wral 3059  ∃!wreu 3061  Vcvv 3348   class class class wbr 4783  cmpt 4860  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030   Isom wiso 6031  (class class class)co 6791  cr 10135  0cc0 10136  *cxr 10273  cle 10275  +crp 12034   ·e cxmu 12149  ordTopcordt 16373   TosetRel ctsr 17413   Cn ccn 21255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-iin 4654  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fi 8471  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xmul 12152  df-topgen 16318  df-ordt 16375  df-ps 17414  df-tsr 17415  df-top 20925  df-topon 20942  df-bases 20977  df-cn 21258
This theorem is referenced by:  xrge0mulc1cn  30328
  Copyright terms: Public domain W3C validator