MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmineq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmineq 12215
Description: The minimum of two extended reals is equal to the second if the first is bigger. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrmineq ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem xrmineq
StepHypRef Expression
1 ifid 4262 . 2 if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐵) = 𝐵
2 xrletri3 12189 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 = 𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐴𝐵)))
32ancoms 455 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 = 𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐴𝐵)))
43biimpar 463 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵𝐴𝐴𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
54anassrs 458 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 = 𝐴)
65ifeq1da 4253 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐵) = if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵))
763impa 1099 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐵) = if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵))
81, 7syl5reqr 2819 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  ifcif 4223   class class class wbr 4784  *cxr 10274  cle 10276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281
This theorem is referenced by:  ssfzunsn  12593  setsstruct  16104  ioondisj2  40229
  Copyright terms: Public domain W3C validator