MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmaxle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmaxle 12207
Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than or equal to a third. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxle ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶)))

Proof of Theorem xrmaxle
StepHypRef Expression
1 xrmax1 12199 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
213adant3 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
3 ifcl 4274 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
43ancoms 468 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
543adant3 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
6 xrletr 12182 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶) → 𝐴𝐶))
75, 6syld3an2 1519 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶) → 𝐴𝐶))
82, 7mpand 713 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶𝐴𝐶))
9 xrmax2 12200 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
1093adant3 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
11 simp2 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 simp3 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13 xrletr 12182 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶) → 𝐵𝐶))
1411, 5, 12, 13syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶) → 𝐵𝐶))
1510, 14mpand 713 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶𝐵𝐶))
168, 15jcad 556 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶 → (𝐴𝐶𝐵𝐶)))
17 breq1 4807 . . . 4 (𝐵 = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) → (𝐵𝐶 ↔ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶))
18 breq1 4807 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) → (𝐴𝐶 ↔ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶))
1917, 18ifboth 4268 . . 3 ((𝐵𝐶𝐴𝐶) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶)
2019ancoms 468 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶)
2116, 20impbid1 215 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2139  ifcif 4230   class class class wbr 4804  *cxr 10265  cle 10267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272
This theorem is referenced by:  maxle  12215  mbfmax  23615  itgspliticc  23802  deg1addle2  24061  deg1sublt  24069  cvmliftlem10  31583
  Copyright terms: Public domain W3C validator