MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmaxeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmaxeq 12215
Description: The maximum of two extended reals is equal to the first if the first is bigger. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxeq ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem xrmaxeq
StepHypRef Expression
1 xrletri3 12190 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 = 𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐴𝐵)))
21ancoms 455 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 = 𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐴𝐵)))
32biimpar 463 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵𝐴𝐴𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
43anassrs 458 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 = 𝐴)
54ifeq1da 4255 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐴))
653impa 1100 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐴))
7 ifid 4264 . 2 if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐴) = 𝐴
86, 7syl6eq 2821 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  ifcif 4225   class class class wbr 4786  *cxr 10275  cle 10277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282
This theorem is referenced by:  max0sub  12232
  Copyright terms: Public domain W3C validator