Theorem xrltnle 10143

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to', for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem xrltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenlt 10141	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	con2bid 343	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
3	2	ancoms 468	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ℝ^*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-br 4686  df-opab 4746  df-xp 5149  df-cnv 5151  df-le 10118

This theorem is referenced by:  xrletri  12022  qextltlem  12071  xralrple  12074  xltadd1  12124  xsubge0  12129  xposdif  12130  xltmul1  12160  ioo0  12238  ico0  12259  ioc0  12260  xrge0neqmnf  12314  snunioo  12336  snunioc  12338  difreicc  12342  hashbnd  13163  limsuplt  14254  pcadd  15640  pcadd2  15641  ramubcl  15769  ramlb  15770  leordtvallem1  21062  leordtvallem2  21063  leordtval2  21064  leordtval  21065  lecldbas  21071  blcld  22357  stdbdbl  22369  tmsxpsval2  22391  iocmnfcld  22619  xrsxmet  22659  metdsge  22699  bndth  22804  ovolgelb  23294  ovolunnul  23314  ioombl  23379  volsup2  23419  mbfmax  23461  ismbf3d  23466  itg2seq  23554  itg2monolem2  23563  itg2monolem3  23564  lhop2  23823  mdegleb  23869  deg1ge  23903  deg1add  23908  ig1pdvds  23981  plypf1  24013  radcnvlt1  24217  upgrfi  26031  xrdifh  29670  xrge00  29814  gsumesum  30249  itg2gt0cn  33595  asindmre  33625  dvasin  33626  radcnvrat  38830  supxrgelem  39866  infrpge  39880  xrlexaddrp  39881  xrltnled  39892  xrpnf  40029  gtnelioc  40030  ltnelicc  40037  gtnelicc  40040  snunioo1  40056  eliccnelico  40074  xrgtnelicc  40083  lptioo2  40181  stoweidlem34  40569  fourierdlem20  40662  fouriersw  40766  nltle2tri  41648  iccelpart  41694