MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltmin 12218
Description: Two ways of saying an extended real is less than the minimum of two others. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrltmin ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))

Proof of Theorem xrltmin
StepHypRef Expression
1 xrmin1 12213 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐵)
213adant1 1124 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐵)
3 simp1 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 ifcl 4269 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ*)
543adant1 1124 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ*)
6 simp2 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 xrltletr 12193 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
83, 5, 6, 7syl3anc 1476 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
92, 8mpan2d 674 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) → 𝐴 < 𝐵))
10 xrmin2 12214 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐶)
11103adant1 1124 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐶)
12 xrltletr 12193 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
135, 12syld3an2 1518 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
1411, 13mpan2d 674 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
159, 14jcad 502 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
16 breq2 4790 . . 3 (𝐵 = if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶)))
17 breq2 4790 . . 3 (𝐶 = if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) → (𝐴 < 𝐶𝐴 < if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶)))
1816, 17ifboth 4263 . 2 ((𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶) → 𝐴 < if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶))
1915, 18impbid1 215 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071  wcel 2145  ifcif 4225   class class class wbr 4786  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282
This theorem is referenced by:  ltmin  12230  iooin  12414  blin  22446  lhop1  23997  ioondisj1  40236
  Copyright terms: Public domain W3C validator