Theorem xrltletrd 12197

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
xrltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrltletr 12193	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1476	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 679	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  ℝ^*cxr 10275   < clt 10276   ≤ cle 10277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282

This theorem is referenced by:  xlt2add  12295  xadddi2  12332  supxrre  12362  infxrre  12371  ixxlb  12402  elicore  12431  elico2  12442  elicc2  12443  caucvgrlem  14611  isnzr2hash  19479  xrsdsreclblem  20007  xblss2ps  22426  xblss2  22427  tgioo  22819  xrge0tsms  22857  xrhmeo  22965  ovoliunlem1  23490  ovoliun  23493  ioombl1lem2  23547  vitalilem4  23599  itg2monolem2  23738  itg2gt0  23747  dvferm1lem  23967  dvferm2lem  23969  lhop1lem  23996  pserdvlem2  24402  abelthlem3  24407  logtayl  24627  xrge0tsmsd  30125  esum2d  30495  relowlssretop  33548  itg2gt0cn  33797  areacirclem5  33836  xrge0nemnfd  40064  supxrgere  40065  supxrgelem  40069  infrpge  40083  xrralrecnnge  40129  supxrunb3  40139  icoopn  40270  limsupre  40391  limsupre3lem  40482  xlimpnfv  40582  fourierdlem27  40868  fourierdlem87  40927  gsumge0cl  41105  sge0pr  41128  sge0ssre  41131  sge0xaddlem1  41167  meaiuninc3v  41218  pimiooltgt  41441  pimdecfgtioc  41445  preimageiingt  41450