MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltle 12020
Description: 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltle ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem xrltle
StepHypRef Expression
1 orc 399 . 2 (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
2 xrleloe 12015 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
31, 2syl5ibr 236 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118
This theorem is referenced by:  xrletri  12022  xrletr  12027  qextltlem  12071  xmulge0  12152  supxrunb1  12187  ico0  12259  ioc0  12260  ioossicc  12297  icossicc  12298  iocssicc  12299  ioossico  12300  snunioo  12336  snunico  12337  snunioc  12338  ioopnfsup  12703  icopnfsup  12704  hashnnn0genn0  13171  pcadd2  15641  leordtval2  21064  lecldbas  21071  xblss2ps  22253  xblss2  22254  blhalf  22257  blssps  22276  blss  22277  blcls  22358  stdbdxmet  22367  stdbdmopn  22370  metcnpi3  22398  blcvx  22648  tgqioo  22650  xrsmopn  22662  metdcnlem  22686  metnrmlem1a  22708  bndth  22804  ovolgelb  23294  icombl  23378  ioorcl2  23386  ioorf  23387  ioorinv2  23389  volivth  23421  itg2seq  23554  itg2monolem2  23563  itg2cnlem2  23574  dvferm1lem  23792  dvferm2lem  23794  dvferm  23796  dvivthlem1  23816  lhop2  23823  radcnvle  24219  tanord1  24328  dvloglem  24439  iocinif  29671  difioo  29672  esumpinfsum  30267  omssubadd  30490  elicc3  32436  tan2h  33531  heicant  33574  itg2addnclem  33591  ftc1anclem7  33621  ioounsn  38112  radcnvrat  38830  xrltled  39800  ioossioc  40031  ioossioobi  40061  fouriersw  40766  iccpartleu  41689  iccpartgel  41690  iccpartnel  41699
  Copyright terms: Public domain W3C validator