MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlimcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlimcnp 24815
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the corresponding extended real function at +∞. Since any 𝑟 limit can be written in the form on the left side of the implication, this shows that real limits are a special case of topological continuity at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlimcnp.a (𝜑𝐴 = (𝐵 ∪ {+∞}))
xrlimcnp.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
xrlimcnp.r ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
xrlimcnp.c (𝑥 = +∞ → 𝑅 = 𝐶)
xrlimcnp.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
xrlimcnp.k 𝐾 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xrlimcnp (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem xrlimcnp
Dummy variables 𝑘 𝑟 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlimcnp.r . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
2 eqid 2724 . . . . 5 (𝑥𝐴𝑅) = (𝑥𝐴𝑅)
31, 2fmptd 6500 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ)
43adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) → (𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ)
5 ssun2 3885 . . . . . . . . . 10 {+∞} ⊆ (𝐵 ∪ {+∞})
6 pnfex 10206 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ V
76snid 4316 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ {+∞}
85, 7sselii 3706 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ (𝐵 ∪ {+∞})
9 xrlimcnp.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝐵 ∪ {+∞}))
108, 9syl5eleqr 2810 . . . . . . . 8 (𝜑 → +∞ ∈ 𝐴)
111ralrimiva 3068 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑅 ∈ ℂ)
12 xrlimcnp.c . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = +∞ → 𝑅 = 𝐶)
1312eleq1d 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = +∞ → (𝑅 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
1413rspcv 3409 . . . . . . . . 9 (+∞ ∈ 𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝑅 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ))
1510, 11, 14sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1612, 2fvmptg 6394 . . . . . . . 8 ((+∞ ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) = 𝐶)
1710, 15, 16syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) = 𝐶)
1817ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ 𝑦𝐽) → ((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) = 𝐶)
1918eleq1d 2788 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ 𝑦𝐽) → (((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ 𝑦𝐶𝑦))
20 cnxmet 22698 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
21 xrlimcnp.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2221cnfldtopn 22707 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
2322mopni2 22420 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦𝐽𝐶𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)
2420, 23mp3an1 1524 . . . . . . 7 ((𝑦𝐽𝐶𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)
25 ssun1 3884 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ {+∞})
2625, 9syl5sseqr 3760 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵𝐴)
27 ssralv 3772 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝑅 ∈ ℂ → ∀𝑥𝐵 𝑅 ∈ ℂ))
2826, 11, 27sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝑅 ∈ ℂ)
2928ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → ∀𝑥𝐵 𝑅 ∈ ℂ)
30 simprl 811 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
31 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶)
3229, 30, 31rlimi 14364 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
33 letop 21133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top)
35 xrlimcnp.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
36 ressxr 10196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ⊆ ℝ*
3735, 36syl6ss 3721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
38 pnfxr 10205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
4039snssd 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {+∞} ⊆ ℝ*)
4137, 40unssd 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
429, 41eqsstrd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
43 xrex 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 * ∈ V
4443ssex 4910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ∈ V)
4542, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ V)
4645ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝐴 ∈ V)
47 iocpnfordt 21142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → (𝑘(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
49 elrestr 16212 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝑘(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴))
5034, 46, 48, 49syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴))
51 xrlimcnp.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴)
5250, 51syl6eleqr 2814 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ∈ 𝐾)
53 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝑘 ∈ ℝ)
5453rexrd 10202 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝑘 ∈ ℝ*)
5538a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → +∞ ∈ ℝ*)
56 ltpnf 12068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < +∞)
5753, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝑘 < +∞)
58 ubioc1 12341 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑘 < +∞) → +∞ ∈ (𝑘(,]+∞))
5954, 55, 57, 58syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → +∞ ∈ (𝑘(,]+∞))
6010ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → +∞ ∈ 𝐴)
6159, 60elind 3906 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → +∞ ∈ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴))
62 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ ℝ)
6362rexrd 10202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ ℝ*)
64 elioc1 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑘 < 𝑥𝑥 ≤ +∞)))
6563, 38, 64sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑘 < 𝑥𝑥 ≤ +∞)))
66 simp2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑘 < 𝑥𝑥 ≤ +∞) → 𝑘 < 𝑥)
6765, 66syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑘 < 𝑥))
6835ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ)
6968sselda 3709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
70 ltle 10239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝑥𝑘𝑥))
7162, 69, 70syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑘 < 𝑥𝑘𝑥))
7267, 71syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑘𝑥))
7320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
74 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
7574ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ+)
76 rpxr 11954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ*)
7815ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
7928ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∀𝑥𝐵 𝑅 ∈ ℂ)
8079r19.21bi 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑅 ∈ ℂ)
81 elbl3 22319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ)) → (𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑅(abs ∘ − )𝐶) < 𝑟))
8273, 77, 78, 80, 81syl22anc 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑅(abs ∘ − )𝐶) < 𝑟))
83 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
8483cnmetdval 22696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑅(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑅𝐶)))
8580, 78, 84syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑅(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑅𝐶)))
8685breq1d 4770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑅(abs ∘ − )𝐶) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
8782, 86bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
8887biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → ((abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
8972, 88imim12d 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟) → (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
9089ralimdva 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟) → ∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
9190impr 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
9220a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
9315ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝐶 ∈ ℂ)
94 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
95 blcntr 22340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
9692, 93, 94, 95syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
9796a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → (+∞ ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
98 eleq1 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = +∞ → (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) ↔ +∞ ∈ (𝑘(,]+∞)))
9912eleq1d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = +∞ → (𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
10098, 99imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = +∞ → ((𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ (+∞ ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
1016, 100ralsn 4329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥 ∈ {+∞} (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ (+∞ ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
10297, 101sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ∀𝑥 ∈ {+∞} (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
103 ralunb 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {+∞})(𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ (∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∧ ∀𝑥 ∈ {+∞} (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
10491, 102, 103sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {+∞})(𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
1059ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝐴 = (𝐵 ∪ {+∞}))
106105raleqdv 3247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {+∞})(𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
107104, 106mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
108 ss2rab 3784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞)} ⊆ {𝑥𝐴𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
109107, 108sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → {𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞)} ⊆ {𝑥𝐴𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)})
110 incom 3913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝑘(,]+∞))
111 dfin5 3688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∩ (𝑘(,]+∞)) = {𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞)}
112110, 111eqtri 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) = {𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞)}
1132mptpreima 5741 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) = {𝑥𝐴𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)}
114109, 112, 1133sstr4g 3752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
115 funmpt 6039 . . . . . . . . . . . . . . 15 Fun (𝑥𝐴𝑅)
116 inss2 3942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
1173ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → (𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ)
118 fdm 6164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ → dom (𝑥𝐴𝑅) = 𝐴)
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → dom (𝑥𝐴𝑅) = 𝐴)
120116, 119syl5sseqr 3760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ⊆ dom (𝑥𝐴𝑅))
121 funimass3 6448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun (𝑥𝐴𝑅) ∧ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ⊆ dom (𝑥𝐴𝑅)) → (((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
122115, 120, 121sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → (((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
123114, 122mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
124 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)
125123, 124sstrd 3719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)) ⊆ 𝑦)
126 eleq2 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) → (+∞ ∈ 𝑧 ↔ +∞ ∈ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)))
127 imaeq2 5572 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) → ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) = ((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)))
128127sseq1d 3738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) → (((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)) ⊆ 𝑦))
129126, 128anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) → ((+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦) ↔ (+∞ ∈ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)) ⊆ 𝑦)))
130129rspcev 3413 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (+∞ ∈ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦))
13152, 61, 125, 130syl12anc 1437 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦))
132131rexlimdvaa 3134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))
133132adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))
13432, 133mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦))
135134rexlimdvaa 3134 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦 → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))
13624, 135syl5 34 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) → ((𝑦𝐽𝐶𝑦) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))
137136expdimp 452 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ 𝑦𝐽) → (𝐶𝑦 → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))
13819, 137sylbid 230 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ 𝑦𝐽) → (((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ 𝑦 → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))
139138ralrimiva 3068 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) → ∀𝑦𝐽 (((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ 𝑦 → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))
140 letopon 21132 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
141 resttopon 21088 . . . . . . 7 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
142140, 42, 141sylancr 698 . . . . . 6 (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
14351, 142syl5eqel 2807 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝐴))
14421cnfldtopon 22708 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
145144a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
146 iscnp 21164 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ((𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞) ↔ ((𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑦𝐽 (((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ 𝑦 → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))))
147143, 145, 10, 146syl3anc 1439 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞) ↔ ((𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑦𝐽 (((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ 𝑦 → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))))
148147adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) → ((𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞) ↔ ((𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑦𝐽 (((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ 𝑦 → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))))
1494, 139, 148mpbir2and 995 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) → (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞))
150 simplr 809 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞))
15120a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
15215ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
15376adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
15422blopn 22427 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽)
155151, 152, 153, 154syl3anc 1439 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽)
15617ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) = 𝐶)
157 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
158151, 152, 157, 95syl3anc 1439 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
159156, 158eqeltrd 2803 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
160 cnpimaex 21183 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞) ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽 ∧ ((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
161150, 155, 159, 160syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
162 vex 3307 . . . . . . . . 9 𝑤 ∈ V
163162inex1 4907 . . . . . . . 8 (𝑤𝐴) ∈ V
164163a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑤𝐴) ∈ V)
16551eleq2i 2795 . . . . . . . 8 (𝑧𝐾𝑧 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴))
16645ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ V)
167 elrest 16211 . . . . . . . . 9 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑧 = (𝑤𝐴)))
16833, 166, 167sylancr 698 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑧 = (𝑤𝐴)))
169165, 168syl5bb 272 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑧𝐾 ↔ ∃𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑧 = (𝑤𝐴)))
170 eleq2 2792 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑤𝐴) → (+∞ ∈ 𝑧 ↔ +∞ ∈ (𝑤𝐴)))
171 imaeq2 5572 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑤𝐴) → ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) = ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)))
172171sseq1d 3738 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑤𝐴) → (((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
173170, 172anbi12d 749 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑤𝐴) → ((+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ (+∞ ∈ (𝑤𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
174173adantl 473 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 = (𝑤𝐴)) → ((+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ (+∞ ∈ (𝑤𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
175164, 169, 174rexxfr2d 4988 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ ∃𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ (𝑤𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
176161, 175mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ (𝑤𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
177 inss1 3941 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝐴) ⊆ 𝑤
178177sseli 3705 . . . . . . . . . . 11 (+∞ ∈ (𝑤𝐴) → +∞ ∈ 𝑤)
179 pnfnei 21147 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ 𝑤) → ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)
180178, 179sylan2 492 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ (𝑤𝐴)) → ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)
181 df-ima 5231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) = ran ((𝑥𝐴𝑅) ↾ (𝑤𝐴))
182 inss2 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤𝐴) ⊆ 𝐴
183 resmpt 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤𝐴) ⊆ 𝐴 → ((𝑥𝐴𝑅) ↾ (𝑤𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅))
184182, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑅) ↾ (𝑤𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)
185184rneqi 5459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran ((𝑥𝐴𝑅) ↾ (𝑤𝐴)) = ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)
186181, 185eqtri 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) = ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)
187186sseq1i 3735 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
188 dfss3 3698 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)𝑧 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
189187, 188bitri 264 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)𝑧 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
19011adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑥𝐴 𝑅 ∈ ℂ)
191 ssralv 3772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤𝐴) ⊆ 𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝑅 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ ℂ))
192182, 190, 191mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ ℂ)
193 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)
194 eleq1 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑅 → (𝑧 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
195193, 194ralrnmpt 6483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ ℂ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)𝑧 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
196192, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)𝑧 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
197196biimpd 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)𝑧 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
198189, 197syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
199 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)
20037ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
201 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑥𝐵)
202200, 201sseldd 3710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
203 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑘 < 𝑥)
204 pnfge 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≤ +∞)
205202, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑥 ≤ +∞)
206 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑘 ∈ ℝ)
207206rexrd 10202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
208207, 38, 64sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑘 < 𝑥𝑥 ≤ +∞)))
209202, 203, 205, 208mpbir3and 1382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞))
210199, 209sseldd 3710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑥𝑤)
21126ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → 𝐵𝐴)
212211sselda 3709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐴)
213212adantrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑥𝐴)
214210, 213elind 3906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑤𝐴))
215214ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → ((𝑥𝐵𝑘 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑤𝐴)))
216215imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → ((𝑥 ∈ (𝑤𝐴) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥𝐵𝑘 < 𝑥) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
21720a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
21876adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
219218ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
22015ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝐶 ∈ ℂ)
22128ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → ∀𝑥𝐵 𝑅 ∈ ℂ)
222221r19.21bi 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑅 ∈ ℂ)
223222adantrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑅 ∈ ℂ)
224217, 219, 220, 223, 81syl22anc 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → (𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑅(abs ∘ − )𝐶) < 𝑟))
225223, 220, 84syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → (𝑅(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑅𝐶)))
226225breq1d 4770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → ((𝑅(abs ∘ − )𝐶) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
227224, 226bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → (𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
228227pm5.74da 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → (((𝑥𝐵𝑘 < 𝑥) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ ((𝑥𝐵𝑘 < 𝑥) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
229216, 228sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → ((𝑥 ∈ (𝑤𝐴) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥𝐵𝑘 < 𝑥) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
230229exp4a 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → ((𝑥 ∈ (𝑤𝐴) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑥𝐵 → (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))))
231230ralimdv2 3063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → (∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
232231imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
233232an32s 881 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
234233expr 644 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤 → ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
235234reximdva 3119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
236235ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))))
237198, 236syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))))
238237com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤 → (((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))))
239180, 238syl5 34 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ (𝑤𝐴)) → (((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))))
240239impl 651 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ +∞ ∈ (𝑤𝐴)) → (((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
241240expimpd 630 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → ((+∞ ∈ (𝑤𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
242241rexlimdva 3133 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ (𝑤𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
243242adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ (𝑤𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
244176, 243mpd 15 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
245244ralrimiva 3068 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
24628, 35, 15rlim2lt 14348 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
247246adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) → ((𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
248245, 247mpbird 247 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) → (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶)
249149, 248impbida 913 1 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wrex 3015  {crab 3018  Vcvv 3304  cun 3678  cin 3679  wss 3680  {csn 4285   class class class wbr 4760  cmpt 4837  ccnv 5217  dom cdm 5218  ran crn 5219  cres 5220  cima 5221  ccom 5222  Fun wfun 5995  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  +∞cpnf 10184  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379  +crp 11946  (,]cioc 12290  abscabs 14094  𝑟 crli 14336  t crest 16204  TopOpenctopn 16205  ordTopcordt 16282  ∞Metcxmt 19854  ballcbl 19856  fldccnfld 19869  Topctop 20821  TopOnctopon 20838   CnP ccnp 21152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-rlim 14340  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-rest 16206  df-topn 16207  df-topgen 16227  df-ordt 16284  df-ps 17322  df-tsr 17323  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cnp 21155  df-xms 22247  df-ms 22248
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator