Theorem xrletrid 12150

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrletrid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrletrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrletrid.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrid.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrletrid	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem xrletrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrid.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
3	1, 2	jca 555	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
4		xrletrid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		xrletrid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		xrletri3 12149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
7	4, 5, 6	syl2anc 696	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
8	3, 7	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   class class class wbr 4792  ℝ^*cxr 10236   ≤ cle 10238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243

This theorem is referenced by:  infxrre  12330  ixxlb  12361  imasdsf1olem  22350  mbflimsup  23603  xrgepnfd  40014  supxrge  40021  infxrpnf  40141  eliccnelico  40228  liminfgelimsup  40486  liminfgelimsupuz  40492  liminflimsupclim  40511  ismbl4  40682  rrxsnicc  40992  sge0fsum  41076  sge0split  41098  sge0iunmptlemre  41104  sge0isum  41116  sge0xaddlem2  41123  sge0reuz  41136  meale0eq0  41167  carageniuncl  41212  caratheodorylem2  41216  caragenel2d  41221  omess0  41223  ovn0lem  41254  hoidmv1lelem2  41281  hoidmv1lelem3  41282  hoidmvlelem4  41287  ovnhoi  41292  ovolval2lem  41332  ovolval5lem3  41343