MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrletrd 12197
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4 (𝜑𝐴𝐵)
xrletrd.5 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
xrletrd (𝜑𝐴𝐶)

Proof of Theorem xrletrd
StepHypRef Expression
1 xrletrd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 xrletrd.5 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
3 xrlttrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrlttrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrlttrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6 xrletr 12193 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1475 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
81, 2, 7mp2and 671 1 (𝜑𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2144   class class class wbr 4784  *cxr 10274  cle 10276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281
This theorem is referenced by:  xaddge0  12292  ixxub  12400  ixxlb  12401  limsupval2  14418  0ram  15930  xpsdsval  22405  xblss2ps  22425  xblss2  22426  comet  22537  stdbdxmet  22539  nmoleub  22754  metnrmlem1  22881  nmoleub2lem  23132  ovollb2lem  23475  ovoliunlem2  23490  ovolscalem1  23500  ovolicc1  23503  ovolicc2lem4  23507  voliunlem2  23538  uniioombllem3  23572  itg2uba  23729  itg2lea  23730  itg2split  23735  itg2monolem3  23738  itg2gt0  23746  lhop1lem  23995  dvfsumlem2  24009  dvfsumlem3  24010  dvfsumlem4  24011  deg1addle2  24081  deg1sublt  24089  nmooge0  27956  metideq  30270  measiun  30615  omssubadd  30696  carsgclctunlem2  30715  mblfinlem1  33772  ismblfin  33776  ftc1anclem8  33817  ftc1anc  33818  hbtlem2  38213  idomodle  38293  xle2addd  40062  xralrple2  40080  infleinflem1  40096  xralrple4  40099  xralrple3  40100  suplesup2  40102  infleinf2  40151  infxrlesupxr  40173  inficc  40273  limsupequzlem  40466  limsupvaluz2  40482  supcnvlimsup  40484  liminfval2  40512  liminflelimsuplem  40519  limsupgtlem  40521  fourierdlem1  40836  sge0cl  41109  sge0lefi  41126  sge0iunmptlemre  41143  sge0isum  41155  omeunle  41244  omeiunle  41245  caratheodorylem2  41255  hoicvrrex  41284  ovnsubaddlem1  41298  ovolval5lem1  41380  pimdecfgtioo  41441  pimincfltioo  41442
  Copyright terms: Public domain W3C validator